定义1设X是一离散型随机变量,其分布列为.ppt

15 解 16 利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望的差大于 三倍标准差的概率. 解 17 为了确定事件 A 的概率, 进行了10000次重复独立试验. 利用切比雪夫不等式估计：用事件A 在10000次试验中发生 的频率作为事件 A 的概率近似值时, 误差小于0.01的概率. 解 设事件A 在每次试验中发生的概率为 p， 在这10000次试验 中发生了X 次, 则 因此，所求事件的概率为 设 ∴仪器误差的数学期望及方差分别是： 18 利用某仪器测量已知量a 时，所发生的随机误差的概率密 度在独立试验过程中保持不变。设 是各 次测量的结果，可否取 作为仪器误差的方 差的近似值？ 解 若系统没有误差，即 则 据切比雪夫定理的推论，得 即 若次品率不大于0.01， 则任取200件，发现6件次品的概率 应不大于 利用泊松定理， 取λ=200×0.01=2 此概率很小， 据小概率事件的实际不可能性原理， ∴不能相信该工厂的次品率不大于0.01。 解 19 从某工厂的产品中任取200件，检查结果发现其中有6件次 品，能否相信该工厂的次品率不大于0.01。 （三）其它习题略解: 5,19 帕斯克分布:设事件A在每次实验中发生的概率为 p，进 行重复独立实验，直至事件A发生r 次为止，需要进行的 实验总次数的概率分布: 解 X 表示直到事件A发生r 次需要进行的实验总次数， 表示直到事件A发生第1 次进行的实验次数， 表示事件A发生第i-1 次后到第i次发生时进行的实验次数， 则: 且 相互独立,服从几何分布G(p). 求: X 的期望与方差. 15 过半径为R的圆周上任意点作这圆的弦,求这弦的平均长度. 解 如图示: 设T 表示过圆周上定点O所作的弦OA 与x 轴的夹角, x L T O 2R A 则 T 在 上服从均匀分布, 设L 表示所作的弦的长度, 则:L=2RcosT E(L)=E(2RcosT)= 22 计算均匀分布U(a,b)的k阶原点矩及k阶中心矩. 解 设随机变量 X ~ U(a,b), 则其概率密度: 为奇数 为偶数 * 定义1：设X是一离散型随机变量，其分布列为： 则随机变量X 的数学期望为: 设X是一连续型随机变量，其分布密度为 则随机变量X的数学期望为 一、一维随机变量的数学期望 定义2： 第三章 随机变量的数字特征 （一）基本内容 （1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则 随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下： （2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则 随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下： 即： 假定级数是绝对收敛的. 假定积分是绝对收敛的. 二、二维随机变量的数学期望 即： 则定义随机变量函数 的数学期望为： （1）设离散型随机变量X 的概率分布为： 三、一维随机变量函数的数学期望 机变量函数 的数学期望为： 则定义随 （2）若X为连续型随机变量， 其概率密度为 （1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则 随机变量函数g(X,Y)的数学期望如下： （2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则 随机变量g(X,Y)的数学期望如下： 假定这个级数是绝对收敛的. 假定这个积分是绝对收敛的. 四、二维随机变量的函数的数学期望 五、关于数学期望的定理 定理1 推论 （1） （2） （3） 定理2 推论： 定理3 若X、Y 独立，则有： 推论 定义 X 的标准差： 定义 X 的方差： 若X 为离散型随机变量，则有 若X 为连续型随机变量，则有 方差的计算公式: 定理1 推论： 有关方差的定理： 六、方差与标准差 定理2： 若X与Y 独立， 推论： 七、某些常用分布的数学期望及方差 二项分布： 0 -1分布： 几何分布: 均匀分布: 指数分布: Poisson分布 二维随机变量的方差： 连续型随机变量 离散型随机变量 随机变量X 的 k 阶原点矩： 定义1： 定义2： X 的k 阶中心矩： 对于离散随机变量： 对于连续随机变量： 对于离散随机变量： 对于连续随机变量： 其中k为正整数。特别的， 特别的， 八、原点矩与中心矩 ⑴ 离散型随机变量： ⑵ 连续型随机变量： 1、X与Y 的协方差（或相关矩）： 定义 注 九、协方差与相关系数 定理1 定理2 若X与Y 独立，则： 注 设X与Y是任两个随机变量， 逆命题不成立。 2、X与Y 的相关系数 定义 定理3 且 定理4 定理5 如果 X 与Y 独立，则 反之不成立。 即: X 与 Y相互独立 X与 Y 不相关 十、切比雪夫不等式与大