定积分的近似计算.ppt

定积分的近似计算 一、问题的背景和目的 二、问题分析 三、例题 一、问题的背景和目的 定积分计算的基本公式是牛顿-莱布尼兹公式，但当被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。 二、问题的分析 我们知道定积分，不论在实际问题中的意义是什么，在数值上都等于(设f(x)0)，直线与x轴所围成的曲边梯形的面积。因此，只要近似地算出相应的曲边梯形的面积，就得到了所给定积分的近似值。近似计算方法的基本思想还是分割、取点、求和这三个步骤。 基本思路 定积分的定义 定积分的近似 左矩形法 左矩形法 在每个小区间[xi?1? xi]上，取x i= xi?1，从而对于任一确定的自然数，有 这种方法称为左矩形法，上述公式称为左矩形公式。 右矩形法 右矩形法 如果取x i= xi，则可得近似公式 这种方法称为右矩形法，上述公式称为右矩形公式。 梯形法 梯形法 这种求定积分近似值的方法为复化梯形法，此公式称为复化梯形公式 辛普森公式 辛普森公式 把区间[a? b]2n等分，每个小区间的长为 辛普森公式 辛普森公式 误差估计 当n=1时，左矩形法和右矩形法的余项的绝对值为 两个矩形公式均具有一次代数精度。 误差估计 复化梯形法的误差估计为 误差估计 辛普森公式的误差估计为 三、例题 试用复化梯形公式计算积分 将区间[0，1]1000等分，并估计误差。 解：在Matlab中编写程序： function t=ftrapz(a,b,n) h=(b-a)/n;t=h*(f(a)+f(b))/2;for i=1:1:(n-1) t=t+h*f(a+h*i); end I=t 及 function f=f(x) if x==0 f=1;else f=sin(x)/x; end 应用复化梯形法求得 . 要估计误差，要求 而 得复合梯化公式误差 * * 本讲主要介绍定积分的三种近似计算算法：矩形法、 复化梯形法和辛普森公式，及其误差分析。 分割：为计算方便，一般采取等分法。 把区间[a? b]n等分，即用分点a ?x0， x1， x2， ? ? ?，xn?1， xn?b? 把区间[a? b]分成n个长度相等的小区间，每个小区间的长为 取点：点 可以任意选取，通常的取法有： 左端点、右端点，就是左矩形法和右矩形法。 过三点可以确定一条抛物线 先计算[-h,h]上，以过 三点的抛物线 为曲线的曲边梯形的面积S ： 同理可以得到区间 上以抛物线为曲边的曲边梯形的面积： 特别的，当n=1时 上述公式称为辛普森公式或抛物线公式。 *