5性质闭包(离散数学).ppt

*/55 例4 证明(2) rt(R)＝tr(R) rt(R)=t(R)∪△A 而 tr(R)＝t(R∪△A) ＝ ＝(R∪△A)∪(R∪△A)2∪(R∪△A)3 ∪┅ ＝(R∪△A)∪(R2∪R∪△A)∪(R3∪R2∪R∪△A) ∪┅ ＝t(R)∪△A ＝rt(R). ∞ i=1 ∪(R∪△A)i 分配率? (R∪△A)2=R2∪R∪△A 设R1、R2、R都是A上的二元关系, 则有 (R1∪R2) ° R=(R1 ° R) ∪(R2 ° R) R °(R1∪R2) =(R ° R1) ∪(R ° R2) */55 例4 证明(3) st(R) ?ts(R) 因为s(R)?R，所以 t(s(R))?t(R) 又因为t(s(R))有对称性(对称关系的传递闭包仍对称), 即t(s(R))是包含了t(R)的对称关系， 所以 t(s(R))是包含了t(R)的对称闭包s(t(R)) 即有 s(t(R)) ?t(s(R)) 即 st(R) ?ts(R) ts(R) ≠ st(R)的反例: R＝{(1,2)} t(R)＝{(1,2)} st(R)＝{(1,2), (2,1)} 而 s(R)＝{(1,2), (2,1)} ts(R)＝{(1,2), (2,1), (1,1), (2,2)}≠st(R)。 若R有对称性, 则 Ri有对称性, t(R)=∪Ri 亦有对称性. */55 思考题 设R是A上的关系, 下面的闭包有什么联系? rst(R), rts(R), str(R), srt(R), trs(R), tsr(R). 显然, 若R是自反（对称、传递）的, 则R是自身的自反（对称、传递）闭包。 * 复合关系具有分配率? 性质： 设R1、R2、R3都是A上的二元关系，则有 (R1∪R2) ° R3=(R1 ° R3) ∪(R2 ° R3) (R∪△A )2=(R∪△A )? (R∪△A )=R?R∪R?△A∪△A?R∪△A?△A=R2∪R∪△A 容易说明, 若R有对称性, t(R)=∪Ri亦有对称性. * 3、传递性 定义 设R为A上的关系, 若 ?x?y?z(x,y,z∈A∧(x,y)∈R∧(y,z)∈R→(x,z)∈R),则称R是A上的传递关系. 实例： A上的全域关系EA,恒等关系IA和空关系? 小于等于关系, 小于关系，整除关系，包含关系， 真包含关系 例3 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中 R1＝{1,1,2,2} R2＝{1,2,2,3} R3＝{1,3} R4＝{1,2,1,3,2,3} * R1 、 R3 和R4是A上的传递关系 R2不是A上的传递关系 * 例 设A是一个任意的非空集合 A上的全域关系具有自反性，对称性和传递性。 A上的恒等关系具有自反性、对称性、反对称性和传递性。 自反 反自反 对称 反对称 传递 全关系 ? ? ? ? ? 恒等关系 ? ? ? ? ? */49 例1 设 A={1，2，3} ，令 R1＝{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)} R2＝{(2,3),(3,2)} R3＝{(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,1)}。 问R1、R2、R3具有哪些性质？ 自反 反自反 对称 反对称 传递 R1 ? ? ? ? ? R2 ? ? ? ? ? R3 ? ? ? ? ? 答： R1有自反性、传递性、反对称性； R2有反自反性、对称性； R3没有这五个性质中的任何一个。 */49 例2 试判断下图中所表示的三个关系的性质。 答： (a)中的关系是对称的、传递的； (b)中的关系是反自反的、反对称的； (c)中的关系是自反的、反对称的、传递的。 2 */49 特点 */49 定理 (p100) R是集合A上的一个二元关系，则 (1) R有自反性当且仅当 △A?R (2) R有反自反性当且仅当△A∩R＝? (3) R有对称性当且仅当 R＝R (4) R有反对称性当且仅当 R∩R?△A (5) R有传递性当且仅当 R?R?R */49 证明(3): R有对称性当且仅当 R＝R 设R有对称性，要证明 R ?1 =R。 　　 对于任意的(x，y)?R， 则由对称性定义,(