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平面图的概念与性质数学与统计学院应用数学系张 欣 　　图的平面性问题是图论典型问题之一。生活中许多问题都与该问题有关。 (一)、平面图的概念 例子1：电路板设计问题 　　在电路板设计时，需要考虑的问题之一是连接电路元件间的导线间不能交叉。否则，当绝缘层破损时，会出现短路故障。 显然，电路板可以模型为一个图，“要求电路元件间连接导线互不交叉”，对应于“要求图中的边不能相互交叉”。 例子2：空调管道的设计 某娱乐中心有6个景点，位置分布如下图。 A1 A4 A5 A3 A2 A6 　　分析者认为：(1) A1与A4, (2) A2与A5, (3) A3与A6间人流较少，无需铺设空调管道；其它景点之间人流量大，必须投资铺设空调管道，但要求空调管道间不能交叉。如何设计？ 　　如果把每个景点分别模型为一个点，景点间连线，当且仅当两景点间要铺设空调管道。那么，上面问题直接对应的图为： A6 A5 A4 A3 A2 A1 　　于是，问题转化为：能否把上图画在平面上，使得边不会相互交叉？ 　　通过尝试，可以把上图画为： 　　于是，铺设方案为： A6 A5 A4 A3 A2 A1 A1 A4 A5 A3 A2 A6 　　问题：要求把3种公用设施(煤气，水和电)分别用煤气管道、水管和电线连接到3间房子里，要求任何一根线或管道不与另外的线或管道相交，能否办到？ 例子3：3间房子和3种设施问题 　　上面问题可以模型为如下图： H3 H2 H1 E W G 　　问题转化为，能否把上图画在平面上，使得边与边之间不会交叉？ 　　上面的例子都涉及同一个图论问题：能否把一个图画在平面上，使得边与边之间没有交叉？ 　　针对这一问题，我们引入如下概念 定义1 　如果能把图G画在平面上，使得除顶点外，边与边之间没有交叉，称G可以嵌入平面，或称G是可平面图。可平面图G的边不交叉的一种画法，称为G的一种平面嵌入，G的平面嵌入表示的图称为平面图。 H3 H2 H1 E W G 图G H3 H2 H1 E W G 图G的平面嵌入 注: 　　(1) 可平面图概念和平面图概念有时可以等同看待； 　　(2) 图的平面性问题主要涉及如下几个方面：1) 平面图的性质；2) 平面图的判定；3) 平面嵌入方法(平面性算法) ;4）涉及图的平面性问题的拓扑不变量。 　　由 图的平面性问题研究引申出图的一般嵌入性问题的研究，形成了拓扑图论的主要内容。 　　历史上，波兰数学家库拉托斯基、美国数学家惠特尼、生于英国的加拿大数学家托特，我国数学家吴文俊等都在拓扑图论中有过精湛的研究。 (二)、平面图性质 定义2 　（1）一个平面图G把平面分成若干连续的部分，这些连续的部分称为G的区域，或G的一个面。G的面组成的集合用Φ表示。 在上图G中，共有4个面。其中f4是外部面，其余是内部面。Φ=｛f1, f2, f3, f4｝。 平面图G f1 f3 f2 f4 　　　　（2）面积有限的区域称为平面图G的内部面，否则称为G的外部面。 （3）在G中，顶点和边都与某个给定区域关联的子图，称为该面的边界。某面 f 的边界中含有的边数(割边计算2次)称为该面 f 的度数, 记为deg ( f )。 平面图G f1 f3 f2 f4 　　在上图中，绿色边在G中的导出子图为面 f3 的边界。 1、平面图的度数公式 定理1 　设G=(n, m)是平面图，则： 证明：对G的任意一条边e, 如果e是某面割边，那么由面的次数定义，该边给G的总次数贡献2次；如果e不是割边，那么，它必然是两个面的公共边，因此，由面的次数定义，它也给总次数贡献2次。于是有： 2、平面图的欧拉公式 定理2(欧拉公式) 　设G=(n, m)是连通平面图，ф是G的面数，则： 证明：情形1，如果G是树，那么m=n-1, ф=1。在这种情况下，容易验证，定理中的恒等式是成立的。 情形2，G不是树的连通平面图。 假设在这种情形下，欧拉恒等式不成立。则存在一个含有最少边数的连通平面图G, 使得它不满足欧拉恒等式。设这个最少边数连通平面图G=(n, m), 面数为ф，则： 　　因为G不是树，所以存在非割边e。显然，G-e是连通平面图，边数为m-1, 顶点数为n, 面数为ф-1。 　　由最少性假设，G-e满足欧拉等式： 　化简得： 　　这是一个矛盾。 　注：该定理也可以采用对面数ф作数学归纳证明。 3、欧拉公式的几个有用推论 推论1 　设G是具有ф个面k个连通分支的平面图，则： 证明：对第i 个分支来说，设顶点数为ni，边数为mi，面数为фi,由欧拉公式： 所以， 而： 所以得： 推论2 　设G是具有n个点m条边ф