第三章 非线性方程(组)的值解法第三章 非线性方程(组)的数值解法第三章 非线性方程(组)的数值解法第三章 非线性方程(组)的数值解法.doc

第三章 非线性方程(组)的数值解法 一．取步长，试用有哪些信誉好的足球投注网站法确立含正根的区间，然后用二分法求这个正根，使误差小于。 【详解】 由于是要寻找正根，因此，可选含根区间的左端点为0。， ，，，因此，中有一个正根。这就确立了含根区间。 接下来，我们用二分法求这个正根，使误差小于，计算结果如下表 迭代次数 0 2 3 2.5 1 2 2.5000 2.250 0 2 2 2.2500 2.125 0 3 2 2.1250 2.062 5 4 2.0625 2.1250 2.093 8 5 2.0938 2.1250 2.109 4 6 2.0938 2.1094 2.101 6 7 2.0938 2.1016 2.097 7 8 2.0938 2.0977 2.095 7 9 2.0938 2.0957 2.094 7 二．对方程，用二分法求其在区间内的根，要求误差小于0.01。 【详解】 用二分法求解方程在内的根，要求误差小于0.01，计算结果如下表： 迭代次数 0 1.5 2 1.75 1 1.7500 2.0000 1.875 0 2 1.8750 2.0000 1.937 5 3 1.9375 2.0000 1.968 8 4 1.9375 1.9688 1.953 1 5 1.9531 1.9688 1.960 9 三．用不动点迭代法，建立适当的迭代格式，求方程 在附近的根，要求误差小于。 【详解】 ，等价于。这样，可以建立不动点迭代格式 。当时，总有，因此，迭代格式对于任意初始值总是收敛的。 取，用所建立的不动点迭代格式求解近似根，要求误差小于，计算结果如下表： 迭代次数 0 1.5 1 1.357 21 2 1.330 86 3 1.325 88 4 1.324 94 5 1.324 76 6 1.324 73 7 1.324 72 8 1.32472 四．建立收敛的不动点迭代格式，求解方程 在内满足精度要求的根。 【详解】 方程恒等变形，得到。这样，就得到了一个不动点迭代格式。当，，且 。因此，对任意，不动点迭代格式都收敛。 选，用所建立的不动点迭代格式求方程在的近似根，计算结果如下表 迭代次数 0 2.5 1 2.154 434 690 2 2.103 612 029 3 2.095 927 410 4 2.094 760 545 5 2.094 583 250 6 2.094 556 309 7 2.094 552 215 8 2.094 551 593 9 2.094 551 498 10 2.094 551 484 11 2.094 551 481 五．为求方程在附近的一个根，将方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代格式： (1) ，迭代格式为； (2) ，迭代格式为； (3) ，迭代格式为。 讨论每种迭代格式的收敛性，并用格式(2)求出精度为的根的近似值。 【详解】 (1) ，，，因此，该迭代格式在是局部收敛的。 (2) ，， 因此，该迭代格式在是局部收敛的。 (3) ，， 因此，该迭代格式在是不局部收敛的。 现在用格式(2)求出精度为的根的近似值，选，计算结果如下表： 迭代次数 0 1.5 1 1.481 2 2 1.472 7 六．给定方程 (1)分析该方程有几个根； (2)用迭代格式求出这些根，要求误差小于。 【详解】 (1),,因此，内必有根。 ，因此，单调递增。这样，方程有且只有一个根。 (2) ，，因此，对任意，迭代格式都是收敛的。取，用该迭代格式求解，要求误差小于。计算结果如下 迭代次数 0 0 1 0.500 0 2 0.438 8 3 0.452 6 4 0.449 6 5 0.450 3 七．用Newton法求解在区间内满足精度要求的根。 【详解】 ，因此，其Newton迭代格式为 选初始值为，用Newton法求解方程在内满足精度要求的根，计算结果如下表： 迭代次数 0 2.5 1 2.164 179 104 2 2.097 135 356 3 2.094 555 232 4 2.094 551 482 5 2.094 551 482 八．用Newton建立求解正数的平方根近似值的迭代算法，并求满足精度要求的近似值。 【详解】 是方程的正根，因此，计算近似值的Newton迭代格式为。 以下用这个迭代格式求满足精度要求的近似值。考虑到，我们可以取初始值。计算结果如下表： 迭代次数 0 10 1 10.750 0 2 10.723 8 3 10.723 8 九．试导出计算的Newton迭代公式，使公式中既无开