第三章 量子力学中的算符1第三章 量子力学中的算符12第三章 量子力学中的算符12第三章 量子力学中的算符12.ppt

第三章 量子力学中的力学量 算符 第一节　算符 operator 2　力学量的平均值(Average Values) (3)讨论 算符　　　　的本征值是量子化的，只能取断续值 除了　　　的基态外，算符　的所有本征值都是简并的，且简并度为 例题 若粒子处于状态 （3）能级的简并度 * * 厄米算符的本征函数 动量算符和角动量算符 电子在库仑场中的运动 基本对易关系 重点：厄米算符　平均值　角动量算符　对易关系 算符 算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号 就是一个算符 　算符的引入规则 如果量子力学中的力学量F在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式F(r,p)中将动量p换为动量算符得出 角动量 总能量 动能 势能 动量 坐标 Operator　算符 力学量 名称 经常遇到的力学量所对应的算符 简并　degeneration 　当算符?的某一本征值?n的本征函数不止一个，而是 f 个线性无关的函数?n1、 ?n2、 ? ?nf，则称该本征值 f 度简并。 若一个算符作用在波函数上得出一个常数乘以该波函数 ，如　　　　　　，则称此方程为该算符的本征方程，称此常数fn为算符F的第n个本征值，波函数为fn相应的本征波函数 算符的本征值和本征函数 线性算符 linear operator 设u1、 u2为任意函数，c1、c2是任意两个复常数，如果 则称?为线性算符 x、d/dx是线性算符，而开方运算不是线性算符 量子力学中用来表示力学量的算符，都是线性算符 是态叠加原理的要求 设 根据态的叠加原理 也就是假设说?是二度简并的 也是算符?的本征态，应有 当?为线性算符时 1 厄米算符 Hermitian operator 设u、 v为两个任意函数，如果算符?满足 则称?为厄米算符 量子力学中代表力学量的算符必须是线性厄米算符 ——　量子力学的又一基本概念 厄米算符在任意状态下的平均值必须是实数 力学量观测值必须是实数，要求算符的本征值是实数 　线性厄米算符的作用就是把态空间中的一个元素变成另一个 　 元素 线性厄米算符的本征函数构成一个正交归一的函数系 （1） 厄米算符本征函数的正交归一性 (Orthonormality) （2） 完备性(Completeness) 设?1 、?2、? 、?n，是某一线性厄米算符的本征函数系，任何与{?n}满足同样边界条件且在同样区间定义的波函数?,都可以按{?n}展开，即 厄米算符的本征函数(本征态)具有正交、完备性 若在每个r处，此无穷级数都收敛到Ψ(r,t)，则称{?n}是完备的 第二节 (1)　力学量处于本征态时 设厄米算符?的本征函数分别为?1 、?2、? 、?n，所属的本征值为， ?1、 ?2、 ? ?n，当体系处于?n时，力学量A有确定的值 ?n， （2）当体系处于?的非本征态? 时，力学量A为何值？ 在非本征态中测量力学量的值为一平均值，当体系处于算符?的非本征态?时，测量力学量A所得为平均值，如果?已经归一化，力学量的平均值为 如果?尚未归一化，力学量的平均值为 利用归一化条件 用?*左乘上式并对全空间积分 根据本征函数的完全性 力学量的平均值为： 所以　　为在Ψn态中，A取λn的几率 状态时，粒子的能量？ 也就是说，此时粒子不处于本征态。 在此状态下，测量粒子的能量 由于波函数是归一化的 本征函数为： 解： 例：设粒子在一维无限势阱(0,a)中运动，如果描述粒子状态的波函数为 3 轨道角动量算符的本征值和本征函数 (1) 轨道角动量算符定义 　若位势与坐标的方向无关，即　　　　　，则称此位势为 　 中心力场 粒子若在中心力场中运动，角动量是表征体系转动性质的 重要物理量 为区别自旋角动量，将其称之为轨道角动量 第三节 (2) 本征问题 Spherical-harmonics l 称为角量子数，表征角动量的大小 A　　的本征方程 　本征函数 m称为磁量子数 本征值为 球谐函数，不仅应当在全空间有限，而且是一个单值函数　 例如：l=2时 m可以取-2,-1,0,1,2;五个值 本征值 本征函数 B Lz的本征值和本征函数 　Lz表示体系的轨道角动量在z轴方向的投影 一个本征值对应2l+1个本征函数，本征值是2l+1度简并的 求：分别测量　　　　的可能取值与相应的取值概率 解：首先判断波函数是否是归一化的状态 　　其次计算各种条件下各力学量的可能取值和取值概率 在态下，相应的取值概率公式为 4 类氢原子的波函数和能量本征值 (1) 分离变量法求解定态方程，可以得到满足波函数条件的解 设 在球坐标下，薛定谔方程变为 　类氢原子中的电子有三个自由度，因此要用三个量子数n,l,