第三章 一阶线性微分方程组 第二讲 一阶线性微分方程组的一般概念及理论第三章 一阶线性微分方程组 第二讲 一阶线性微分方程组的一般概念及理论第三章 一阶线性微分方程组 第二讲 一阶线性微分方程组的一般概念及理论第三章 一阶线性微分方程组 第二讲 一阶线性微分方程组的一般概念及理论.doc

第二讲 一阶线性微分方程组的一般概念与 一阶线性齐次方程组的一般理论（4课时） 目的与要求: 了解一阶线性微分方程组的一般概念与一阶线性齐次方程组的一般理论, 掌握一阶线性齐次方程组的通解结构, 理解基本解矩阵, Wronsky行列式等概念. 二、重点：一阶线性齐次方程组的通解结构, 基本解矩阵, Wronsky行列式. 三、难点：基本解矩阵, Wronsky行列式. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1. 一阶线性微分方程组的一般概念如果在一阶微分方程组(3.1)中函数关于是线性的即(3.1)可以写成 (3.6) 则称(3.6)为一阶线性微分方程组我们总假设(3.6)的系数及在某个区间上连续为了方便可以把(3.6)写成向量形式. 为此, 记 及 根据的记号(3.6)就可以写成向量形式 (3.7) 　如果在上,方程组(3.7)变成 (3.8) 我们把(3.8)称为一阶线性齐次方程组如果(3.8)与(3.7)中相同则称(3.8)为(3.7)的对应的齐次方程组.与第二章中关于一阶线性微分方程的结果类似我们可以证明如下的关于(3.7)的满足初始条件(3.2)′的解的存在与唯一性定理.定理3.1′ 如果(3.7)中的及在区间上连续则对于上任一以及任意给定的方程组(3.7)的满足初始条件(3.2)′的解在上存在且唯一.这个定理的证明留给读者完成. 它的结论与定理3.1的不同之处是定理3.1的解的存在区间是局部的，而定理3.1′则指出解在整个区间上存在.一阶线性齐次方程组的一般理论?⑴一阶线性齐次微分方程组解的性质本节主要研究一阶线性齐次方程组(3.8)的通解结构.为此我们首先从(3.8)的解的性质入手.???定理3.2 如果是方程组(3.8)的个解，则 ????????????????? ?(3.9) 也是(3.8)的解，其中是任意常数.换句话说，线性齐次方程组(3.8)的任何有限个解的线性组合仍为(3.8)的解. ?证明 因为是(3.8)的解，即 成立. 再由 这就证明了(3.9)是(3.8)的解.????定理3.2告诉我们，一阶线性齐次微分方程组(3.8)的解集合构成了一个线性空间.为了搞清楚这个线性空间的性质，进而得到方程组(3.8)的解的结构，我们引入如下概念.定义3.1??设是个定义在区间I上的n维向量函数. 如果存在m个不全为零的常数，使得?????????????? 在区间上恒成立则称这个向量函数在区间上线性相关否则称它们在区间上线性无关.显然，两个向量函数的对应分量成比例是它们在区间I上线性相关的充要条件. 另外如果在向量组中有一零向量则它们在区间I上线性相关.是(3.8)的个解, 称下面的矩阵为这个解组对应的矩阵 对它 它的第个列向量为. 如果这组解是线性无关的, 则称此矩阵为(3.8)的基本解矩阵 ????例1 向量函数?? 在任何区间(a, b)上是线性相关的. 事实上取有例2 向量函数?? 在(-∞,+∞)上线性无关. 事实上，要使得成立，或写成纯量形式，有 显然, 仅当 时, 才能使上面三个恒等式同时成立, 即所给向量组在 上线性无关.上上上 例3 向量函数 在上线性无关. 事实上，由于相当于纯量形式 由此可以看出：仅当时，才能使上面三个恒等式同时成立，即所给向组在上线性无关.????例3中两个向量函数的各个对应分量都构成线性相关函数组. 这个例题说明，向量函数组的线性相关性和由它们的分量构成的函数组的线性相关性并不等价.下面介绍n个n维向量函数组???????????????????????? ??? ???????????????????(3.10) 在其定义区间I上线性相关与线性无关的判别准则.我们考察由这些列向量所组成的行列式通常把它称为向量组(3.10)的朗斯基(Wronsk)行列式.定理3.3 如果向量组(3.10)在区间I上线性相关，则它们的朗斯基行列式在I上恒等于零.证明 依假设，存在不全为零的常数,使得???????????????????? 把上式写成纯量形式有 这是关于的线性齐次代数方程组，且它对任一，都有非零解.根据线性代数知识，它的系数行列式W (x)对任一都为零.故在I上有W(x)≡0.证毕.对于一般的向量函数组, 定理3.3的逆定理未必成立. 例如向量函数?? 的朗斯基行列式恒等于零，但它们却是线性无关的.然而，当所讨论的向量函数组是方程组(3.8)的解时，我们有下面的结论.定理3.4 如果