第四章_ n维向量b第四章 n维向量b第四章_ n维向量b第四章_ n维向量b.ppt

例:4.21.求向量 在基 ， 以及 下的坐标。 解:设 故a 在基b1 , b2 , b3 下的坐标为(1,1,1). P9118 请写出理由，如果是基的话，请求出向量 在此基下的坐标。 作业：P90-919,13(1), 15 例4.16：已知 试求向量组 a1, a2, a3 的极大无关组,并将其他向量用极大线性无关组表示． 解： 可见 a1, a2 是向量组 a1, a2, a3 的一个极大线性无关组． 且 a3 = 2a1+ a2 ． (2) 向量组T 中任意r+1个向量(如果存在的话)都线性相关， 极大线性无关组：若向量组T 中存在由r 个向量组成的向量组T0: 满足 (1) 向量组T0: 线性无关； 则称向量组T0: 是向量组T 的一个极大 线性无关组。 秩：一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数称为该向量组的秩． (2/) 向量组T 中任意一个向量都可以被 线性表出。 定理4.6. A的列秩= A的秩= A的行秩. 求向量组的秩以及最大无关组的方法： 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换，变换为行阶梯形矩阵，求出其秩,找出极大线性无关组 ；进一步化为行最简形，把其他向量表示成极大无关组的线性组合。 §4.5 线性方程组的解的结构 问题：什么是线性方程组的解的结构？ 所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限多个解时，解与解之间的相互关系． 当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构． 一、齐次线性方程组AX=0 解的性质 １．解向量的概念 设有齐次线性方程组 若记 （4.1） 则上述方程组（4.1）可写成向量方程 若 满足方程AX=0 ，或者说x1是方程的解, 则x1称为方程组(4.1)的解向量. （4.2） ２．齐次线性方程组 AX=0 解的性质 （1）若 为AX=0 的解，则 也是 AX=0 的解. 证明: 　　（2）若 为AX=0的解， k为实数，则 　　　 也是AX=0的解． 证明: 定义4.7. 我们称齐次线性方程组的一组解? 1, ? 2, …, ? s为该方程组的一个基础解系，若满足: （1） ? 1, ? 2, …, ? s 线性无关； （2）该齐次线性方程组的任意一个解都可以由? 1, ? 2, …, ? s线性表示． 由定义知，齐次线性方程组的基础解系实际上就是该方程组解向量组的一个极大线性无关组． 如何求AX=0的基础解系呢？ 定理4.7. 3．线性方程组Am×nX=0 基础解系的求法. 设齐次线性方程组(4.1)的系数矩阵的秩R(A)=rn,则该方程组必存在基础解系，并且基础解系中所含的解向量的个数即为自由未知量的个数n-r. 当R(A) = n时，方程组只有零解； 特别地，当m=n时，若|A|≠0，方程组只有零解； 当R(A) n时，方程组有无穷多个非零解。 特别地，当m=n时，若|A| = 0, 方程组有无穷个非零解。 例4.17. 求齐次线性方程组 解: 对系数矩阵A 施行初等行变换变为行最简形矩阵： 的基础解系. -2r1+r2 -r1+r3 得与原方程组同解的方程组为： 即 系数矩阵的秩为2，自由未知量的个数为4-2. 任意一个解均可表示为: 称齐次线性方程组的一组解? 1, ? 2,…, ? s为该方程组的一个基础解系，若满足: （1） ? 1, ? 2, …, ? s 线性无关； （2）该齐次线性方程组的任意一个解都可以由? 1, ? 2, …, ? s线性表示． 通解为: 从而 为一个基础解系。 基础解系中所含的解向量的个数即为自由未知量的个数. 设R(A) =r n ， n 元齐次线性方程组 AX = 0 的通解为x = k1x1 + k2x2 + … + kn-rxn-r， 求解齐次线性方程组 解： 例4.18. 系数矩阵的秩为3，自由未知量的个数为4-3=1. 即得同解方程组： 得到通解： 其中k 是任意常数. 基础解系为： 自由未知量的个数即为基础解系所含解向量的个数1. 求解齐次线性方程组 例4.19. 解： 注：根据方程具体情况，化成能解出解的形式，并非一定是最简形。 得到通解： 基础解系为： 1.非齐次线性方程组解的性质 二、非齐次线性方程组的解的结构 性质. 若 h1, h2 是非齐次线性方程组 AX = b 的解，则 h1 ? h2 是对应的齐次线性方程组 AX = 0 的解． 证明： A(h1 ? h2 ) = Ah1 ? Ah2 =