第五节 直线、平面垂直判定与性质第五节 直线、平面垂直的判定与性质第五节 直线、平面垂直的判定与性质第五节 直线、平面垂直的判定与性质.doc

第五节直线、平面垂直的判定与性质 一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义 直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 l⊥α 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面 b⊥α 3．直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b 二、平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 α⊥β 2．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 l⊥α 1．已知平面α，β，直线l，若αβ，α∩β＝l，则(　　) A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α C．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α、β都垂直 ．如图O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是 (　　) A1D　　　　　　　　 AA1 C．A1D1 D．A1C1 3．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是(　　) A．若mα，α∩β＝n，则mn B．若mα，mn，则nα C．若mα，nβ，αβ，则mn D．若αβ，α∩β＝n，mn，则mβ 4.如图，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为________． 5．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA＝2AB.则下列命题正确的有________． PA⊥AD；平面ABC平面PBC；直线BC平面PAE；直线PD与平面ABC所成角为30°. ．．．．答案：4．答案： 小结　　1.在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即： 2．在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理． 3．几个常用的结论： (1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直． (2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 垂直关系的基本问题 典题导入 [例1]　若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；若m、n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若mα，则nβ；m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直．其中的假命题的序号是________． 由题悟法 解决此类问题常用的方法有：依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；否定命题时只需举一个反例．寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选．[答案]　 以题试法 1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题： 若ab，aα，bα，则bα；若aα，aβ，则αβ；若aβ，αβ，则aα或aα；若ab，aα，bβ，则αβ. 其中正确命题的个数为(　　)A．1　B．2C．3 D．4 解析：选D　 直线与平面垂直的判定与性质 [例2]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB平面PAD，ABCD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝AB，PH为PAD中AD边上的高． (1)证明：PH平面ABCD； (2)若PH＝1，AD＝，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积； (3)证明：EF平面PAB. 证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)利用判定定理．(2)利用判定定理的推论(ab，aα?b⊥α)． (3)利用面面平行的性质(aα，αβ?a⊥β)．(4)利用面面垂直的性质． 当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面． 2．如图所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点． (1)求证：MNCD； (2)若PDA＝45°，求证：MN平面PCD. 面面垂直的判定与性质 典题导入 [例3]　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点． 求证：(1)平面ADE平面BCC1B1； (2)直线A1F平