第一章 复数与复变函数 (.4-1.5)第一章 复数与复变函数 (1.4-1.5)第一章 复数与复变函数 (1.4-1.5)第一章 复数与复变函数 (1.4-1.5).ppt

* §1.4 无穷大与无穷远点 一、无穷大 二、无穷远点 公共邮箱：complex_hust@126.com 密码：complex123456 (2) (3) 法则 (1) 无意义。 无意义。 实部虚部是多少? 问题 模与辐角是多少? 在复平面上对应到哪一点？ 一、无穷大 定义 一个特殊的复数 称为无穷大， 满足 二、无穷远点 1. 无穷远点的概念 定义 在“复平面”上一个与复数 对应的“理想”点， 称为无穷远点。 事实上，在通常的复平面上并不存在这样的点， 因此只能说它是一个“理想”点。 那么，这个“理想”点到底在哪里呢？ 下面就来看看黎曼(Riemnann)给出的解释。 这样的球面称作复球面。 球面上的 N 点本身则对应到了“复平面”上的无穷远点。 其中，N 为北极，S 为南极。 对复平面上的任一点 用 球面上除 N 点外的所有点和复平面上的所有点一一对应， 直线将 点与 N 点相连，与球面相交于 点。 p 二、无穷远点 2. 复球面 如图， 某球面与复平面相切， 注 复数 不能写成 或者 二、无穷远点 3. 扩充复平面 (2) 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面， 或者简称为复平面。 (1) 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面； 定义 4. 无穷远点的邻域 设实数 M 0， 定义 (1) 包括无穷远点在内且 满足 的所有点的集合 称为无穷远点的邻域。 (2) 不包括无穷远点在内 且满足 的所有点的集合， 称为无穷远点的去心邻域， 也可记为 §1.5 复变函数 一、基本概念 二、图形表示 三、极限 四、连续 在以后的讨论中，D 常常是一个平面区域，称之为定义域。 按照一定法则，有确定的复数 w 与它对应， 一般情形下，所讨论的“函数”都是指单值函数。 上定义一个复变函数，记作 对每个 有唯一的 w 与它对应； 单值函数 比如 多值函数 对每个 有多个 w 与它对应； 比如 则称在 D 一、基本概念 定义 设 D 是复平面上的一个点集，对于 D 中任意的一点 ， z 一、基本概念 一个复变函数对应于两个二元实变函数。 分析 则 可以写成 设 其中， 与 为实值二元函数。 分开上式的实部与虚部得到 比较两边实部与虚部即得 代入 得 解 记 P21 例1.13 例 将复变函数 化为一对实变函数。 G G 二、图形表示 C 映射 复变函数 在几何上被看作是把 z 平面上的一个 平面 z 平面 w 点集 变到 w 平面上的一个点集 的映射(或者变换)。 其中，点集 称为像，点集 称为原像。 函数、映射以及变换可视为同一个概念。 D z x y w u v 双方单值与一一映射 为映射 的逆映射。 若映射 与它的逆映射 都是单值的， 则称映射 是双方单值的或者一一映射。 二、图形表示 反函数与逆映射 为 w 平面上的点集 G， 设函数 的定义域为 z 平面上的点集 D，值域 的一个(或几个)点 z， 一个函数 它称为函数 的反函数，也称 则 G 中的每个点 w 必将对应着 D 中 按照函数的定义，在 G 上就确定了 解 (1) 点 对应的像(点)为 (2) 区域 D 可改写为： 令 则 可得区域 D 的像(区域)G 满足 即 P22 例 (1) (2) 已知函数 求下列点集的像。 点 区域 函数 对应于两个二元实变函数 例 因此，它把 z 平面上的两族双曲线 分别映射成 w 平面上的两族平行直线 x y 1 -1 -1 1 u v 0 c1 10 2 4 6 8 10 -10 -8 -6 -4 -2 -10 c2 0 2 4 6 8 10 10 -6 -10 -8 -4 -2 -10 三、极限 定义 设函数 在 的去心领域 内有定义 , 若存在复数 使得 当 时， 有 记作 或 注 (1) 函数 在 点可以无定义； (2) 趋向于 的方式是任意的。 则称 A