第一章 复数与复变函数第一 复数与复变函数第一章 复数与复变函数第一章 复数与复变函数.ppt

第一章 复数与复变函数 §1 复数 §2 复平面上的点集 §3 复变函数 §1 复数 1． 复数域 形如 或 的数，称为复数，其中 和 均是实数，称为复数 的实部和虚部，记为 ， 　， 称为虚单位． 两个复数 与 相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即 且 虚部为零的复数可看作实数，即 ，特别地， ，因此，全体实数是全体复数的一部分． 实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数 和 称为互为共轭复数，记为 　　 或　 设复数 ， ，则复数四则运算规定： 容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律． 全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的． 从上述复数的定义中可以看出，一个复数 实际上是由一对有序实数 唯一确定．因此，如果我们把平面上的点 与复数 对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系． 由于 轴上的点和 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称 轴为实轴，称 轴为虚轴，这样表示复数 的平面称为复平面或 z 平面． 3．复数的模与幅角 由图1-1中可以知道，复数 与从原点到点 所引的向量 也构成一一对应关系（复数 对应零向量）．从而，我们能够借助于点 的极坐标 和 来确定点 ，向量 的长度称为复数 的模，记为 显然，对于任意复数 均有 另外，根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式 （三角形两边之和第三边，图1-2） （三角形两边之差第三边，图1-3） (1.2)与(1.3)两式中等号成立的几何意义是：复数 ， 分别 与 及 所表示的三个向量共线且同向．即 向量 与实轴正向间的夹角 满足 称为复数 的幅角(Argument)，记为 由于任一非零复数 均有无穷多个幅角，若以 表示其中的一个特定值，并称满足条件 的一个值为 的主角或 的主幅角，则有 注意：当 时，其模为零，幅角无意义． 从直角坐标与极坐标的关系，我们还可以用复数的模与幅角来表示非零复数 ，即有 (1.6)与(1.8)式分别称为非零复数 的三角形式和指数形式，由(1.8)式的指数性质即可推得复数的乘除有， 公式(1.10)与(1.11)说明：两个复数 ， 的乘积（或商），其模等于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或差）． 特别当 时可得 此即说明单位复数 乘任何数，几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角度． 另外，也可把公式(1.11)中的 换成 （某个特定值），若 为主值时，则公式两端允许相差 的整数倍，即有 作业:第42页 2,3,4 第二节 复平面上的点集 1.2.1 复平面点集的几个基本概念 例1:集合 为半平面，它是一个单连通无界区域， 例2、集合 为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其边界为两条直线： 例3、集合 为一角形，它是