第一章 计量经济学的数理统学基础第一章 计量经济学的数理统计学基础第一章 计量经济学的数理统计学基础第一章 计量经济学的数理统计学基础.doc

计量经济学的数理统计学基础 一、随机变量的概率分布 1．随机变量 随机变量是指取值具有随机性的变量。 随机变量有两种：离散随机变量和连续随机变量。 2．离散随机变量的概率分布 （1）概率函数 通常用一个二维表格直观描述离散随机变量X的概率分布： X … P … 其中， （2）分布函数 累计分布概率： 3．连续随机变量的概率分布 （1）概率函数 用概率密度函数描述， 它满足以下性质： ；； （2）分布函数 累计分布函数 ； 另有： 二、随机变量的数字特征（分布参数） 1．数学期望 数学期望 记为或 对于离散变量，； 对于连续变量， 性质： 2．方差 方差 记为或 性质： ；. 3．标准差（均方差） 标准差 4．矩 矩 称为变量X的阶矩，时就是X的期望。 5．协方差 协方差用于度量两个变量的线性相关程度，记为或； . 意味着两个变量同方向变动，称之为正相关； 称之为负相关； 称之为不相关。 相关系数 ；. 如果独立，那么， 三、样本统计量 1．总体和样本 所谓总体就是一个随机变量X，X的分布函数通常记为，其中就是待估计的参数。 在进行n次重复独立实验后，得到总体X的n个观察值，而在实验之前，实际上是相互独立均与总体X同分布的n个随机变量。称为总体X的容量为n的简单随机样本，简称样本；称为样本的一个观察值，简称样本值。 2．常见的样本统计量 统计量的概念 设是来自总体X的一个样本，若随机变量的函数中不含有任何未知参数，则称为一个统计量。 注意：统计量本身是一个随机变量；其值可由样本值计算出来。 最常见的统计量有： 样本均值 ； 样本方差； 样本标准差； 样本k阶原点矩 ； 样本k阶中心矩 。 假设，，是某个X和Y联合分布的样本，那么 样本协方差 样本相关系数 四、抽样分布 1．几个常用分布 正态分布 定义：如果随机变量X的密度函数为 则称X服从参数为μ、σ的正态分布，通常记为X((((,(2)。 令， 那么服从标准正态分布((0,1)， 卡方分布 假设n维向量X(N(0,)，那么； t-分布 假设两个独立的随机变量Z(N(0,1)， Y( ，那么 F-分布 假设和是两个独立的卡方分布，那么 2．样本均值的分布 总体X ( (((,(2) 样本( (((,(2) 则：( (((,(2/n) 3．样本方差的分布 ( 4．样本均方差的分布 ( 四、区间估计 临界值的概念 设的分布函数为，满足，则称为的临界值。 对称分布的临界值 非对称分布的临界值 区间估计 对于参数，如果有两个统计量,，满足对给定的，有 则称区间[，]是的一个区间估计或置信区间，、分别称作置信下限、置信上限，称为置信水平。 置信水平为1-，在实际上可以这样理解:如取，就是说若对某一参数取100个容量为的样本，用相同方法做100个置信区间。[，]，=1,2,…,100,那么其中有95个区间包含了真参数．因此,当实际上只做一次区间估计时，我们有理由认为它包含了真参数。这样判断当然也可能犯错误，但犯错误的概率只有5%。 寻找置信区间的通常方法是从已知抽样分布的统计量，如上文提到的U，X和T入手，由于分布和概率已知，只要确定临界值就可以了。 单个正态总体参数的区间估计 设为的样本，对给定的置信水平，，求 参数和方差的区间估计。 情况1（已知）由于，所以容易找到临界值，使得，那么的区间估计是： 。 情况 2（未知） 情况 3（的区间估计） 五、假设检验 假设检验的基本思想 在数理统计中，假设检验是这样一个过程：对未知总体，先作出某种假设，然后利用样本提供的信息，对这一假设的合理性进行检验，从而确定接受或拒绝这一假设。 在进行假设检验时，有两点值得注意： ① 反证法思想。 ②“小概率事件”在一次实验中不会发生。 假设检验的步骤 第一步，建立假设 ； 这里称为原假设，称为备择假设。 注意：在假设检验中，原假设与备选假设的地位是不对等的。一般来说是较小的，因而检验推断是“偏向”原假设，而“歧视”备选假设的。既然是受保护的，则对于的肯定相对来说是较缺乏说服力的，充其量不过是原假设与试验结果没有明显矛盾；反之，对于的否定则是有力的，且越小，小概率事件越难于发生，一旦发生了，这种否定就越有力，也就越能说明问题。在应用中，如果要用假设检验说明某个结论成立，那么最好设为该结论不成立。 第二步，构造统计量，求出统计量的样本分布以及由样本观察值算出其具体值。 统计量 在成立的条件下，对应的具体值记为。 第三步，根据备择假设构造出对不利的小概率事件—