第一章直线和平面 两个平面直的判定和性质(三)第一章直线和平面 两个平面垂直的判定和性质(三)第一章直线和平面 两个平面垂直的判定和性质(三)第一章直线和平面 两个平面垂直的判定和性质(三).doc

高中立体几何教案 第一章 直线和平面 两个平面垂直的判定和性质（三）教案 教学目标1．使学生掌握利用有关定理推导出异面直线上两点间距离的方法；2．通过公式的推导及对例题的剖析，培养学生在分析解决问题时严谨的逻辑思维能力．教学重点和难点异面直线上两点间距离的推导过程．教学用具两根直细木棍，其上分别有一个用醒目颜色标识的点．教学设计过程师：上节课我们小结了有关垂直的定理，整理了解决与垂直问题有关的问题的解题思路，并且留下了两个思考题．首先看第一题：（板书）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，且BE=EB1．求证：截面A1EC⊥侧面AC1．　　　　　　　　　　　　　　　 师；这道题的结论是面面垂直．要想解决这个问题，需要在其中一个平面中找到或作出另一平面的一条垂线，也就是转化为解决线面垂直的问题．分析已知，由正三棱柱可知：△ABC，△A1B1C1都是正三角形，而侧棱AA1⊥面ABC．由面面垂直的判定定理可证侧面AC1与底面ABC垂直．于是在面ABC内可作出侧面AC1的垂线．可在平面A1EC中如何找到一条直线垂直于侧面AC1呢？这一点是从已知到未知的关键所在，解决了这一点，也就搭起了从已知到未知的桥梁．哪位同学解决了这个问题呢？生甲：取AC中点F，连结BF，作FG∥AA1交A1C于G，连结GE．　　　 师：很好．充分利用线面之间垂直关系，在平面ACE内找到了直线EG，EG⊥面AC1，使问题得以解决．生乙：还可以延展平面A1EC．分别延长CE，C1B1交于点D，连结A1D． 师：生乙的证明给的很新颖．通过延展平面．在更广的范围内寻找线A1D⊥面AC1．充分利用平面几何的知识，解决两条直线A1D⊥A1C1的问题．学习立体几何的同时，不要忘记：当在同一平面内时，平面几何的定理仍然适用．师：好，下面请同学继续回答第二个问题：“影响异面直线上两点间距离的因素有哪些？”生：有三种因素：1．异面直线的距离；2．两点在直线上的位置；3．两条异面直线所成的角．师：很好．下面我们一起看一下，他所叙述的三点能不能影响异面直线上两点的距离，确定了这三点是不是距离就确定了．（取出两根细木棍，为叙述方便，称两点为A、B．演示上述三个方面变化对两点距离的影响．如果回答的三个方面不准确，可通过演示最终解决）师：通过演示，可以看出，要想确定异面直线上两点的距离，必须要控制这三个因素．一是异面直线的距离——用公垂线段的长控制．二是两点在直线上的位置——用点到公垂线垂足的距离控制．三是两条异面直线的方向——用两直线所成角控制．下面我们给出这三组数据，一起来推导异面直线上两点间的距离公式．（板书）已知两条异面直线a，b所成角为θ，它们的公垂线段AA′，长度为d．在直线a，b上分别取点E，F，设A′E=m，AF=n，求EF．师：要画出两条异面直线，需要用一个平面衬托．选择什么样的平面呢？结合已知仔细想一下．生：因为两条异面直线所成的角是要作出来才好用的，所以选择过直线b且与直线a平行的平面．师：满足条件的平面有无数个，哪个位置最好？生：过公垂线段在直线b上的垂足A，作直线a′∥a，则a′，b确定平面α．师：这个平面选的好．因为AA′⊥a，所以AA′⊥a′，又AA′⊥b，所以AA′⊥α．下面我们作出这个图形，来求解EF．师：观察图形，要求EF，需充分利用已知数据，应想办法将条件集中． 师：分析公式，与平面几何中的余弦定理相类似，可类比记忆．要利用公式计算距离，需提供4个数据m，n，d，θ，要一一指实后再代入计算．所以这个公式应用起来并不方便．而图形构造好后，公式的推导过程倒是简单自然．因此，遇到具体问题时常常按推导过程逐一进行计算，最终求出这两点的距离．所以对这个公式，把握的重点是推导的方法．师：通过公式的推导，我们还可以得到几点启示．看直角△EFG，EG＜EF，而EG=AA′，所以异面直线的距离是异面直线上两点的距离中最小的．我们知道，求异面直线的距离很困难，原因是公垂线段难找．看图形，对于异面直线a，b公垂线段AA′不易作出，而EG=AA′．要作出EG则非常方便，只需过E作EG⊥α即可．所以要求两条异面直线的距离，过其中一直线作一平面与另一直线平行，将线线距离转化为线面距离，可直接在线上取一点作这个平面的垂线，为控制垂足的位置，作出这个平面的垂面，就是β，找到交线，垂足一定落在交线上，也就是再将线面距离转化为两条平行线间的距离，这个问题在平面几何中已经解决．由此我们得到一种求两条异面直线距离的方法，即将异面直线距离转化为线面距离，再转化为两条平行线间的距离，最终使问题得到解决．同时，由于直线b必与平面β相交于点A，（否则b∥a′∥a）所以总可以过A作AA′⊥a于A′，则AA′就是a，