1实变函数的特点.docx

1 实变函数的特点 　实变函数的定义就是以实数作为自变量的函数。实变函数的应用范围非常广泛，而且内容抽象，理论严谨，概念性很强，并且我们可以发现，该课程虽然归属数学专业，但是关于计算的内容几乎为零。最主要的内容是由其本身的定义、定理所组成的一套理论体系。并且在推论的过程中，需要运用较多的定理加以证明，对逻辑思维能力要求比较高，在一些定理的证明中，推论过程相对杂，逻辑性缜密、证明过程复杂，对于刚入门的学生来说，确实是一门高难度的数学课程。 　针对实变函数抽象复杂的特点，学好这门课程就必须有掌握好扎实的理论基础知识，并利用实变函数的特点，培养自身的思维创新能力。从入门之初起便要探索实变函数一整套课程的理论体系以及脉络。 　2 学习实变函数的目的 　很多入门的学生会有一些疑问，实变函数如此复杂难懂，为什么还要去学，而且在过往的数学科目当中，已经学习过了微积分的概念，在实变函数当中，为什么还要加以学习，目的何在，到底实变函数与之前学过的数学分析论断有什么区别。 　我们在大学当中学到的积分被称为“黎曼积分”，由于在积分和极限换序以及微积分理论中存在着许多的不足的地方，从而，研究学家们变创造出了勒贝格积分，以此来克服了黎曼积分的许多不足之处，这些全新的理论就是实变函数的核心内容。实变函数当中的诸多定义和定理与之前学过的数学定理对比时，可以很明显的突出实变函数的清晰、快捷的优越性，更进一步的说明学习实数函数的重要性。 　在实际的学习当中，很多人会提出，实数函数如此抽象，他的实际作用是什么？前面提到过，想要能够出色的学好实变函数，就必须有良好的逻辑思维能力，在这一方面，实变函数课程里涉及到大量证明，学生们认真严谨的学习态度和逻辑思维能力起着不可估量的作用，在未来更多的工作路上，绝大部分的数学科同学们将来从事的工作应该会和数学有关，实变函数在未来的工作之路上，将会起到非常直接有效的作用。 　3 学习实变函数的重要性 　洛阳师范学院数学科学院的苏孟龙博士就曾经提到过：对于这样一门抽象的实变函数，如何在课堂中对学生讲清楚一些定义、定理的含义以及作用是非常重要的事情。例如：苏博士在课堂当中，对测度这一个比较重要的概念就从不同的角度去进行了全面详细的讲解。最开始，苏博士会让同学们了解为什么要引入测度这一概念，即在定义勒贝格积分时出现的特殊集合，因为无法用传统的测量工具去测量，所以引入了测度这一概念。接下来，就会介绍引入测度的两种不同方法：第一种方法是先引入外侧度，如若外侧度满足卡拉泰奥多利条件，则称集合的测度是存在的；第二种方法就是同时引入内侧度和外侧度，当内外测度相等的时候，就说明集合的测度是存在的。第三步就是对勒贝格外测度、测度的定理进行进一步的深入解释，并且又说明了测度的发展由来以及历史，说明了其传统的体积、博雷尔测度、勒贝格测度和勒贝格测度以及抽象测度的区别和联系。引出的一系列的例子，很容易的就让同学们对测度这个概念有了更进一步深入的理解。 　事实上，我们在用黎曼积分概念证明黎曼积分的充要条件时，不难发现，很简单的函数里却不Riemann可积，于是可以很明显的发现，Riemann积分适用范围很小。在1902年，法国数学家LEBESGUE在其博士论文《积分、长度与面积》中，成功解决了黎曼积分适用范围小的缺点，他定义了新的积分，并找出了和某种微分之间的关系。为了更简单的运用一些数学方法，我们便开始推广勒贝格的新的积分学。 　4 实变函数简单化的方法以及例子 　在理清学习实变函数的目的和要求以后，教师在引导学生学习过程中应该运用一些方法去让同学们更好的理解：运用图解的方式便于学生的理解，因为过于复杂，（下转第97页）（上接第76页）如果运用大量的图像就会使得每一个定理更容易理解。例如：在某些集合的运算关系已经可测函数的定义上，一些图形的添加，就会加深同学们对这些定义的理解。在学习实数函数的过程当中，会出现到大量的证明，对于初学者来说，是一件很苦恼的事情，如何做到简单易懂，是初学者都希望的事情。在涉及到实数函数的每一个定理时，都力争做到仔细、详尽。就会对日后学习的定理证明难度降低，使得每一个过程都衔接的紧密妥当，没有过度较大的跨越性，从而使得每一个证明都比较简单易懂。对于这门课程来说，大家需要把初入门中的定义、定理含义以及作用理解清楚是非常重要的事情。教师在讲解过程中，必须要讲解得透彻，清楚。可以举几个计较常用的定理： 　比如讲解叶果洛夫(EropoB)定理这一节时，首先需要给同学们分析函数例=Xn，0≤X＜1(或X∈[0，1)=E)，不一致收敛于函数= 0，0≤X1的原因，接着指出对任意的0＜1，却有fn(x)=Xn，0≤X≤l一(或X∈[0，1—）= E)，能够一致收敛于函数=0，0≤X≤1当6充分小的时候，这两个函数列的定义域相差无几，他们的测度