2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义124离散型随机变量及其分布列.doc

§12.4　离散型随机变量及其分布列 1． 离散型随机变量的分布列 (1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量． (2)离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量． (3)设离散型随机变量X取值为a1，a2，…，x取ai的概率为pi(i＝1,2，…)，记作P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…) 或列表： X＝ai a1 a2 … P(X＝a1) p1 p2 … 称为离散型随机变量X的分布列． (4)性质： ①pi____0，i＝1,2，…； ②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝__1__. 2． 超几何分布 一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n (n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么 P(X＝k)＝ (其中k为非负整数)． 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布． 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量． (　√　) (2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象． (　√　) (3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布． (　×　) (4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　√　) 2． 袋中有3个白球，5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是 (　　) A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到的球的个数 答案　C 解析　选项A，B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2. 3． 随机变量X的分布列如下： X －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)等于 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c. 又a＋b＋c＝1，∴b＝，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝. 4． 设某运动员投篮投中的概率为0.3，则一次投篮时投中次数X的分布列是________． 答案　 X 0 1 P 0.7 0.3 5． 已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2X≤4)＝________. 答案　 解析　P(2X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝. 题型一　离散型随机变量的分布列的性质 例1　设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X －1 0 1 P 1－2q q2 则q等于 (　　) A．1 B．1± C．1－ D．1＋ 思维启迪　利用分布列的两个性质求解． 答案　C 解析　由分布列的性质知 ∴q＝1－. 思维升华　(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为正数． (2)求随机变量在某个范围内的取值概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式． 　设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：(1)2X＋1的分布列； (2)|X－1|的分布列． 解　由分布列的性质知： 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 首先列表为 X 0 1 2 3 4 2X＋1 1 3 5 7 9 |X－1| 1 0 1 2 3 从而由上表得两个分布列为 (1)2X＋1的分布列 2X＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)|X－1|的分布列为 |X－1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 题型二　求离散型随机变量的分布列 例2　某商店试销某种商品20天，获得如下数据： 日销售量(件) 0 1 2 3 频数 1 5 9 5 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率． (1)求当天商店不进货的概率； (2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列． 思维启迪　解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各个值对应的概率，只有正确地理解随机变量取值的意义才能解决这个关键问题． 解　(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝＋＝. (2)由题意知，X的可能取值为2,3. P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝＝； P(X＝3)＝P