《常微分方程》练习题库参考答案.doc

江苏师范大学数学教育专业 《常微分方程》练习测试题库参考答案 一、判断说明题 1、在线性齐次方程通解公式中C是任意常数而在常数变易法中C（x）是x的可微函数。将任意常数C变成可微函数C（x），期望它解决线性非齐次方程求解问题，这一方法成功了，称为常数变易法。 2、因p(x)连续，y(x)= yexp(-)在p(x)连续的区间有意义，而exp(-)＞0。如果y＝0，推出y(x)=0,如果y(x)0,故零解y(x)=0唯一。 3、 它是常微分方程，因为含有未知函数的导数，f,g为已知函数，y为一元函数，所建立的等式是已知关系式。 它是常微分方程，理由同上。 它不是常　微分方程，因y是未知函数，y(y(y(x)))也是未知的，所建立的等式不是已知关系式。 4、微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。微分方程的解又称为（一个）积分。 5、 把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。 6、 y＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,另一因式仅含y，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主要特征，就像f(x,y)一样，p,q分别都能分解成两个因式和乘积。 7、二元函数f(x,y)满足f(rx,ry)=rf(x,y),r.0,则称f(x,y)为m次齐次函数。m=0则称它为0次齐次函数。 8、如果f(x,y)是0次齐次函数，则y＝f(x,y)称为齐次方程。 如果p(x,y)和q(x,y)同为m次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次方程。 如果q0则＝－ f(x,y)，由p,q为m次齐次函数推知f(x,y)为0次齐次函数故y＝f(x,y)为齐次方程。 9、 求解齐次方程经常用变换y=zx.用函数乘积导数的公式得 　　=x＋z 10、 二、计算题 1、方程变形为=，它的分子，分母两条直线交点为（1,2） 作变换，于是得到＝，它已经是齐次方程。 2、令z=x+y+1,则＝1＋，于是=1+f(z), 只要＋f(z)0,可分离变量得　x=+C 3、p(x)=-cosx用线性齐方程初值问题解公式即得　y=exp(sinx) 4、用线性方程通解公式： y=exp(-)(C+)dx)=exp(-x)(C+2exp (-x))=2+Cexp(-x) 5、公式求得方程通解 y(x)=exp(2x) (C+ xexp(2x) exp(-2x)dx)=exp(2x)(c’+x) 利用初始条件代入上式y(0)=0=C,故y=x exp(2x) 6、x 看作自变量，y看成函数，则它是非线性方程，经变形为 　　　　　＝x+y 以x为未知函数,y是自变量，它是线性方程，则通积分为 x=exp()(c+=cexp(y)-y-1 7、解：将方程变形为xydy=(y-1)dx或＝，当xy0,y1时积分得 ＋y+ln+=c 8、解： 这是齐次方程。令y=zx原方程化为 －du=两边积分得　　－ln|z|=ln|cx| 用z=代入得 y=exp() y=0也是原方程的解。 9、解：. 方程右边分子，分母两条直线交点为（x , y）=(-2,1)作变换u=x+2,v=y-1,原方程化为 ＝，此为齐次方程，令v=uz,经简单计算得dz=,积分得＝C 原方程通积分为　　y=x+c(x+y+1)+3 10、解 当时，分离变量得 等式两端积分得 即通解为 11、解 齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为 代入原方程，确定出 原方程的通解为 + 12、解 由于，所以原方程是全微分方程． 取，原方程的通积分为 即 13、解 令，则原方程的参数形式为 （2分） 由基本关系式