单级倒立摆LQR和LQY控制.doc

单级倒立摆LQR与LQY控制 1、建模 在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示。 其中： M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置 φ 摆杆与垂直向上方向的夹角 θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 采用牛顿动力学方法可建立单级倒立摆系统的微分方程如下： 倒立摆的平衡是使倒立摆的摆杆垂直于水平方向倒立，所以假设，为足够小的角度，即可近似处理得：，，。 用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个方程如下： 取状态变量： 即摆杆的角度和角速度以及小车的位移和速度四个状态变量。则系统的状态方程为： 将上式写成向量和矩阵的形式，就成为线性系统的状态方程： 这里设： 将参数带入，有： 2、LQR控制 线性二次型是指系统的状态方程是线性的，指标函数是状态变量和控制变量的二次型。考虑线性系统的状态方程为： 找一状态反馈控制律：，使得二次型性能指标最小化： 其中，为系统的状态变量；、为起始时间与终止时间；为终态约束矩阵；为运动约束矩阵；为约束控制矩阵。其中、决定了系统误差与控制能量消耗之间的相对重要性。 为使最小，由最小值原理得到最优控制为： 式中，矩阵为微分Riccatti方程：的解。 如果令终止时间，为一个常数矩阵，且，因此以上的Riccatti方程简化为。 对于最优反馈系数矩阵，使用Matlab中专门的求解工具lqr()来求取。将LQR控制方法用于倒立摆控制的原理如下图所示。 用Matlab求解lqr(A, B, Q, R)可以求出最优反馈系数矩阵的值。lqr函数需要选择两个参数和，这两个参数是用来平衡输入量和状态量的权重。其中，代表摆杆角度的权重，而是小车位置的权重。这里选择： matlab求得：K = [-82.4246 -10.7034 -10.0000 -11.8512]。 LQY控制 取性能指标为 对应控制率为，满足如下黎卡提方程 同LQR求解过程求解 K = [-276.8656 3.8430 -45.2606 -8.6243] 4、仿真 通过matlab仿真，LQR控制与LQY倒立摆摆角和小车位移仿真结果如下图所示。LQR仿真图： LQY仿真图 上下两条曲线分别为倒立摆摆角和小车位移。 结果分析 从仿真图我们可以看出对于这两种控制方法LQY的控制响应效果更好，图中明显可以看出LQY控制器的控制下的倒立摆瞬时响应稳定时间更短，而LQR控制方法下的倒立摆的响应稳定时间几乎是LQY控制器的2倍，但是LQR控制下的倒立摆超调变化量更小，相对LQY响应过程更加稳定。 程序 LQR方法 %Modelling a=[0 38.1825 0 -0.3847;1 -0 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1 0]; b=[0;-2.8037;0;0.7477]; c=[1 0 0 0;0 0 1 0]; d=[0;0]; eig(a) Qc=ctrb(a,b); Rc=rank(Qc) if (Rc==4) disp(状态完全能控) else disp(状态不完全能控) end Qo=obsv(a,c); Ro=rank(Qo) if( Ro==4) disp(状态完全能观测) else disp(状态不完全能观测) end Q=[250 0 0 0;0 0 0 0;0 0 10 0;0 0 0 0]; R=1; K=lqr(a,b,Q,R); x0=[0.2,0,0,0]; ac=[(a-b*K)]; bc=; cc=[c]; dc=[d]; [K,P,e]=lqr(a,b,Q,R), t=0:0.005:7; figure initial(ac,b,c,d,x0) title(step respond of inverted pendulum system ) xlabel(Sec) ylabel(Output y=x3) figure [y,x,t]=initial(ac,bc,cc,dc,x0,t); plot(t,x,y) figure,x1=[1 0 0 0]*x,plot(t,x1);grid; title(x1的响应曲线) figure,x2=[0 1 0 0]*x,plot(t,x2);grid; title(x2的响应