第10讲协方差与相关系数辩析.ppt

n维正态随机变量的重要性质 (4) 若 服从n维正态分布, 则“ 相互独立” 与“ 两两不相关”是等价的. 例4 设(X,Y)服从二维正态分布N(1, 32; 0, 42; -0.5),其中Z=X/3+Y/2. 1)求Z的概率密度. 2)求X与Z的相关系数. 3)问X与Z是否相互独立？为什么？ 分析 由于(X,Y)服从二维正态分布，由性质(2)可知Z=X/3+Y/2服从一维正态分布. 因此，只需计算Z的期望和方差. 解 根据已知条件 ,那么 由数学期望、方差、协方差的性质 解 根据已知条件 ,那么 由数学期望、方差、协方差的性质 (4) 若 服从n维正态分布, 则“ 相互独立” 与“ 两两不相关”是等价的. 由于 (3) 若 服从n维正态分布,设 是 线性函数，则 也服从多维正态分布. 由性质(3)可知(X,Z)服从二维正态分布. 又 ，所以X与Z不相关，再根据性质(4)可知X与Y独立. 第10讲 协方差与相关系数 矩、协方差矩阵 我们在前一章研究过二维随机变量各自的概率分布特性以及与整体概率分布特性之间的关系. 我们知道联合分布可以唯一确定边缘分布，反之不成立。前两讲我们又介绍了随机变量的数学期望与方差，它们分别反映了随机变量取值的平均水平和随机变量取值相对于均值的分散程度，但有时需要考虑随机向量的数字特征与各自数字特征之间关系，为此我们引入协方差、相关系数、 协方差与矩的概念。 第10讲 协方差与相关系数 矩、协方差矩阵 一、协方差 1. 协方差定义 设(X,Y)为二维随机变量，如果E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}存在. 则称此为随机变量X与Y的协方差.记为Cov(X,Y).即 Cov(X, Y)=E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}. 离散型 连续型 例1 在一盒中装有大小相同的2只黑球，4只白球，现从盒中连续取球两次，每次任取一只.设随机变量 讨论随机变量(X, Y)的协方差. 解 （1）无放回的情况 Y X 0 1 pi· 0 1/15 4/15 1/3 1 4/15 2/5 2/3 p·j 1/3 2/3 解 （1）无放回的情况 Y X 0 1 pi· 0 1/15 4/15 1/3 1 4/15 2/5 2/3 p·j 1/3 2/3 例2 设随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)∣x2+y2≤1}上服从均匀分布，求Cov(X,Y). 解 由已知条件 于是 第10讲 协方差与相关系数 矩、协方差矩阵 一、协方差 1. 协方差定义 2. 协方差的计算公式 例1 在一盒中装有大小相同的2只黑球，4只白球，现从盒中连续取球两次，每次任取一只.设随机变量 讨论随机变量(X, Y)的协方差. 解 （2）有放回的情况 Y X 0 1 pi· 0 1/9 2/9 1/3 1 2/9 4/9 2/3 p·j 1/3 2/3 第10讲 协方差与相关系数 矩、协方差矩阵 一、协方差 1. 协方差定义 2. 协方差的计算公式 3. 协方差的性质 (1) Cov(X, Y)=Cov(Y, X); (2) Cov(X,X)=D(X); Cov(X,C)=0 第10讲 协方差与相关系数 矩、协方差矩阵 一、协方差 1. 协方差定义 2. 协方差的计算公式 3. 协方差的性质 (1) Cov(X, Y)=Cov(Y, X); (2) Cov(X,X)=D(X); Cov(X,C)=0 (3) Cov(aX, bY)=abCov(X, Y), 其中a, b为 常数； (4) D(X +Y)=D(X)+D(Y) + 2Cov(X, Y)； 第10讲 协方差与相关系数 矩、协方差矩阵 一、协方差 1. 协方差定义 2. 协方差的计算