二○○七年全国高中数学联赛西省预赛试卷(2007.9.23,详细答案)二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试卷(2007.9.23,详细答案)二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试卷(2007.9.23,详细答案)二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试卷(2007.9.23,详细答案).doc

二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试卷 2007年9月23日上午（8∶30-11∶00） 考生注意：1、本试卷共三大题（15个小题），全卷满分150分． 2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答． 3、解题书写不要超出装订线． 4、不能使用计算器． 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1、为互不相等的正数，，则下列关系中可能成立的是（ ）． 、； 、 ； 、； 、； 2、设 ，又记则（ ）． 、； 、 ； 、； 、； 3、设为锐角，，则的大小顺序为（ ）． 、； 、 ； 、； 、； 4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A、B、C、D四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）. 、； 、； 、； 、. 5、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为，则其侧面与底面的夹角为( ). 、； 、； 、； 、 . 6、正整数集合的最小元素为，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，则并集中的元素个数为（ ）． 、 、； 、； 、. 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上. 7、若实数满足：，则 . 8、抛物线顶点为，焦点为，是抛物线上的动点，则的最大值为 ． 9、计算 . 10、过直线：上的一点作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为，则椭圆的方程为 . 11、把一个长方体切割成个四面体，则的最小值是 . 12、将各位数码不大于的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列， 则 ． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13、数列满足：；令 ；求 ． 14、 如图，的外心为，是的中点，直线交于，点分别是的外心与内心，若， 证明：为直角三角形． 15、若四位数的各位数码中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数． 二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答 2007年9月23日上午（8∶30-11∶00） 考生注意：1、本试卷共三大题（15个小题），全卷满分150分． 2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答． 3、解题书写不要超出装订线． 4、不能使用计算器． 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。 请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分； 不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1、为互不相等的正数，，则下列关系中可能成立的是（ ） 、； 、 ； 、； 、； 答案：；解：若，则，不合条件，排除，又由 ，故与同号，排除；且当时，有可能成立， 例如取，故选． 2、设 ，又记则（ ） 、； 、 ； 、； 、； 答案：；解：， ，据此，，，因为型，故选. 3、设为锐角，， 则的大小顺序为（ ） 、； 、 ； 、； 、； 答案：；解：， ，故. 4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A、B、C、D四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）. 、； 、； 、； 、. 答案：；解：选两色有种，一色选择对角有种选法，共计种； 选三色有种，其中一色重复有种选法，该色选择对角有种选法，另两色选位有种，共计种；四色全用有种（因为固定位置），合计种. 5、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为，则其侧面与底面的夹角为( ). 、； 、； 、； 、 . 答案：；解：设底面正方形边长为，棱锥的高为，侧面三角形的高为，则 ，，则，. 6、正整数集合的最小元素为，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，则并集中的元素个数为（ ）． 、 、； 、； 、. 答案：；解：用表示集的元素个数，设，由，得，于是，，；从而 ． 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接