第八章简单超静定问题辩析.ppt

轮箍 热套冷却后 解（1）平衡方程 （2）变形几何方程 圆周伸长： （1） （2） （3）物理方程 微段伸长 圆周总伸长 （3） （4）补充方程 令（2）=（3） 轮箍受力图 在超静定杆系中，由于多余约束的存在，各杆因温度改变而引起的纵向变形要受到相互制约，在杆内就要产生应力，这种应力称为温度应力或热应力。 平衡方程： 变形几何方程： 物理方程（线膨胀定律和胡克定律）： 求得： 温度应力： （压应力） 例8-8 图示超静定杆系中，三杆的弹性模量均为E，线膨胀系数均为 ，横截面面积均为A。试求温度升高 度时，三杆的温度应力。 A FN1 FN3 FN2 解（1）平衡方程 （1） （2） （2）变形几何方程及物理方程 1 2 3 （3）补充方程 （3） （4）联立求解 A FN1 FN3 FN2 1 2 3 (压力) (压应力) (拉力) (拉应力) 例8-9 如图所示的阶梯形钢圆杆，上段杆的直径d1=50mm，长度l1=700mm；下段杆的直径d2=35mm，长度l2=300mm。杆的上端固定，下端距刚性支座的间隙Δ=0.15mm，材料的线膨胀系数 ，弹性模量E=210GPa。试求温度升高 时，两段杆的温度应力。 解：若解除杆下端的刚性支座，则温度上升后杆的伸长变形为Δlt。当Δlt Δ时，下端支座的约束反力FR将使杆产生缩短变形ΔlF。根据变形协调条件得到变形几何方程为 其中： （补充方程） 例8-10 图示结构中，1、2两杆的拉压刚度均为EA，长度均为l，加工时1杆的长度短了Δe（ Δe l），AB为刚性杆。装配后，再施加荷载F。求1、2杆的轴力。 F B A l 1 2 C D a a a ~ ~ 1 2 C B D A B D A C F 解：本题是求装配和荷载共同作用时1、2杆的轴力，这类问题宜采用综合法求解较简便。 平衡方程： （1） 变形几何方程及物理方程： ~ ~ 1 2 C B D A 补充方程： （2） 联立求解： 本题也可用叠加法求解，即分别单独考虑装配时的求解和单独考虑外荷载的求解，然后叠加。 * * * * * * * * * 第八章 简单超静定问题 §8-1 概述 §8-2 拉压超静定问题 目 录 *§8-3 装配应力和温度应力 §8-4 扭转超静定问题 §8-5 简单超静定梁 §8-1 概述 未知力数： 2个 独立方程数： 2个 仅靠静力平衡方程就能把结构的约束反力和内力解出的问题称为静定问题，相应的结构称为静定结构。 未知力数： 3个 独立方程数： 2个 求不出 仅靠静力平衡方程不能求出全部约束反力和内力的问题称为超静定问题，相应的结构称为超静定结构。 F 多余约束 多余未知力（冗力） 超静定次数：未知力数与方程数之差（多余约束或多余未 知力的数目） 超静定解法 平衡方程 + 补充方程 建立补充方程的关键：根据变形协调条件建立变形几何方程（变形协调方程），再由物理方程（胡克定律），最后得到补充方程。 为了求出超静定结构的全部未知力，除了利用平衡方程以外，还必须寻找补充方程，且使补充方程的数目等于多余未知力的数目。 超静定解法： 例8-1 设杆系结构如图，已知：各杆长为：l1=l2 =l 、 l3 ；各杆面积为A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的轴力。 C F A B D 1 2 3 F A FN1 FN3 FN2 解：? 平衡方程 （1） （2） §8-2 拉压超静定问题 ?几何方程（绘变形图） ?物理方程——胡克定律 ?补充方程：由几何方程和物理方程得。 ?（1）（2）（3）联立求解得: C A B D 1 2 3 A1 （3） C F A B D 1 2 3 讨论： （1）在超静定杆系中，各杆的轴力和该杆的拉压刚度与其他杆的拉压刚度的比值有关。 （2）若E1 A1↑，则FN1 ↑；若E3 A3↑，则FN3 ↑。即杆系中任一杆的拉压刚度的改变都将引起杆系各轴力的重新分配。 （3）以上两个特点在超静定杆系存在，静定杆系中是不存在的。 解超静定杆系的步骤 （1）根据分离体的平衡条件，建立独立的平衡方程。 （2）根据变形协调条件，建立变形几何方程。 （3）利用胡克定律，将变形几何方程改写成补充方程。 （4）将补充方程与平衡方程联立求解。 例 8-2 已知：F， EA 求：A、B两端的支座反力 解： （1）受力分析并列平衡方程 （2）变形几何方程 只有一个平衡方程，一次超静定 （3）物理方程（胡克定律） （4）建立补充方程，解出约束反力