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方阵的特征值和特征向量： §3 相似矩阵 例 1 (P118第1题) §4 实对称矩阵的相似矩阵 第五章 相似矩阵及二次型 第*页 前次课内容回顾 一些概念： 内积、长度（范数）、正交、正交向量组、 正交规范基、施密特正交化 主要结论： 内积、长度的性质； 正交向量组一定是线性无关的。 正交矩阵 定义 （正交矩阵）如果 n 阶方阵A 满足 ATA=E，则 称 A 为正交矩阵。 由定义立即可知： 若A为正交矩阵，则 结论 A为正交阵 A的列（行）向量皆为单位 向量，且两两正交。 显然, A 的列(行)向量组皆构成 Rn 的正交规范基。 定义 若 P 为正交矩阵, x , y是 n维向量。称由 x 到 y 的 变换 y=Px 为正交变换。 结论 正交变换保持向量的长度不变。 即：若 y=Px，P 为正交矩阵，则 定义 设 A为 n 阶方阵，如果数λ和 n 维非零向量 x, 使关系式 成立，则称数λ为方阵 A 的特征值，非零向量 x为 A 的 对应于λ的特征向量。 注 ： 1) 若 p 是 A 的对应于λ的特征向量, 则 kp (k≠0) 也 是 A 的对应于λ的特征向量。 2) 若 p1, p2 皆是 A 的对应于λ的特征向量, 则 p1+p2 ( p1+p2 ≠ 0) 也是 A 的对应于λ的特征向量。 结论 n 阶方阵 A 一定有n 个特征值。 (但要注意：1）是在复数范围内；2）可能有重根。) 为方阵 A 的特征多项式 （为关于λ的一元 n 次多项式）。 称 为A的迹，记为 tr(A). 即，求对应的特征向量归结为解一个线性方程组。 设A 的特征值为 由多项式的根与系数 之间的关系知： 的特征向量满足 1） 解特征方程 2) 对每个特征值 n 阶方阵A的特征值、特征向量的求法： 得到 A 的全部特征值。 （注意共有 n 个特征值。） 求出齐次线性方程组 的基础解系，它们就是 A 的对应于 的线性无关的特征向量。 关于方阵的特征值和特征向量， 我们有下面结果 结论： 设λ是A的特征值，则λ2是A2 特征值，一般 地，λk 是Ak 的特征值。 证 因为λ是A的特征值，即有 于是， 即λ2是A2 特征值，类似可证一般情形。 注：此结论还可进一步推广如下： 若λ是A的特征值，则 更一般地， 定理 2 设 是方阵A的 m个特征值, 依次是与之对应的特征向量，如果 各不相等，则 线性无关。 证 设有 （*）式两端分别用 左乘, 由引理 可得: 左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，由条件知， 此行列式不等于零，故该矩阵可逆，于是有： 证毕 用矩阵形式写出,即: 定义 设A，B都是 n 阶方阵，若有可逆矩阵 P，使 则称矩阵 B 和A相似，对A进行运算 称为对A进行相似变换，可逆矩阵 P 称 为相似变换矩阵。 定理 3 若 n 阶方阵A与B相似，则A与B的特征多项式相 同，从而A与B的特征值亦相同。 证 因A与B相似，即有P，使 故 推论 若 n 阶方阵 A相似于对角阵 则 即是A的 n 个特征值。 思考：1) 若A、B相似，A、B是否等价？ 2) 若A、B相似, 是否有 结论: 若A、B相似, 则A, B等价(从而秩相等), 且有 A,B的特征多项式相同,特征值相同; 以及 问题 对n 阶方阵A，如何寻求相似变换矩阵P，使 为对角阵？ 定理 4 n 阶方阵A相似于对角阵（即A能对角化）充分 必要条件是A有n 个线性无关的特征向量。 由此定理知，A能否对角化归结为何时A能有n个线性 无关的特征向量，在上节的例子中，我们知道，尽管 n 阶矩阵一定有 n 个特征值，但却不一定有 n 个线性无关 的特征向量。 则有： 定理 4 的证明 即 （充分性）将必要性证明逆推之即可。 证毕 证 （必要性）若A与对角阵相似， 即存在可逆矩阵 P，使 推论 如果 n 阶矩阵A的 n 个特征值各不相等，则A与对 角阵相似。 在一个特别情形，我们有： 注意 由定理4的证明过程可知： 1）对角阵Λ的对角线上的元素就是A的 n 个特征值； 2）相似变换矩阵 P 的列向量就是A的 n个线性无关 的特征向量。 当有 成立时， 设3阶方阵A的特征值为 －1,1,2，问A3 能否相似对角化？ 答: 可以. 解 A的特征多项式为 故得A的三个特征值为 对于 方程组（-2E －A)x= 0 , 试证三