第一章有限元法基本原理辩析.ppt

第一章 有限元法基本原理 §1.1 有限元法简介及其历史 精确解：少数方程性质简单，形状规则； 复杂问题解：简化假设+数值解法 有限差分法：网格，用差分方程近似微分方程→流体应用； 其他方法：配点法、最小二乘法、Galerkin法、力矩法、里兹法； 共同点：在整个求解域上假设近似函数。 有限元法的基本解题思路： 将连续求解区域离散一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元的组合体，利用在每一个单元内假设的近似函数来分片的表示全求解域上待求的未知场函数。单元内的近似函数由插值函数表达，未知场函数及其导数在各个结点上的数值就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题，插值求整个解。 参考书目： 《有限元法及其在锻压工程中的应用》吕丽萍主编，西北工业大学出版社 《弹性和塑性力学中的有限单元法》丁皓江等主编，机械工业出版社 《有限元分析的基本方法及工程应用》周昌玉、贺小华 编著，化学工业出版社 §1.2 位移函数与形状函数 1、坐标系 以杆单元为例： 和 是 两点沿方向的位移分量。 和 是 两点沿方向的节点力分量。※统一规定：和坐标轴正向一致的为正。 内位移：杆单元在节点力的作用下所产生的位移称为内位移。 位移函数：描绘内位移的函数。 材料力学：仅受轴向力作用的杆，其中各点的位移是沿杆的轴线按线性规律变化，即： 为杆单元位移函数。 其中： ， ——待定常数，由 ，节点的位移确定。 用矩阵表示为 ： 式中：1和 为基底函数， 为基底函数矩阵。 ， 为单元的广义位移， 为广义位移列阵。 由单元的边界条件，确定广义位移： ， ; , 。 代入 式： 矩阵形式为： 式中： 为单元的节点位移 。 则： 为变换矩阵 。 式中： 则： 代入 式： 设： ， 代入上式，得： 矩阵形式： 即： 为形状函数矩阵。 由式 可知：当 ， 时， ； 当 ， 时， 。 形状函数的力学含义：当单元的一个节点位移为单位值，其他节点的位移为零时，单元内位移的分布规律。 数学意义：如果说结构被有限个自然节点离散化为有限个单元的集合，实现了结构模型的离散化，那么形状函数则完成了数学模型。 将式（1.4）代入式（1.2）得： 由式（1.6） 则： 位移函数或形状函数的选择是有限元分析的关键，位移函数选择的优劣，会直接影响到解的收敛性及解的精确度。 §1.3 单元应力和应变 位移函数→几何方程（→应变）→物理方程（→应力） 杆单元的几何方程为： 简化为： 为几何矩阵。 杆单元的物理方程为： 或 ： 为弹性矩阵 。 将式（1.8）代入上式，得： 为应力矩阵 。 对于杆单元： 为弹性矩阵，对于杆单元 ，是1X1 阶矩阵。 （1.8）、（1.10）是两个常数公式。 §1.4 虚功原理 设有一受外力作用的物体，如下图所示： 节点外力： ， 和 ； 节点外力： ， 和 。 外力用 表示；内力用 表示。 设物体在外力 和内力 以及边界固定点A、B、C处支反力作用下处于平衡状态。 假设物体发生了虚位移： ， ， ， ， ， ； 由虚位移产生的虚应变： ， ， ， ， ， 。 发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功是： 应力在虚应变上的虚功是： 整个物体的虚应变能是： 虚功原理：如果在虚位移发生之前，物体处于平衡状态，那么在虚位移