特征值和特征向量矩阵的相似对角化辩析.ppt

第四章 特征值和特征向量、矩阵的相似对角化 §4.1 特征值和特征向量 §4.2 相似矩阵 §4.2 相似矩阵(续) §4.3 实对称矩阵的相似对角化 §4.3 实对称矩阵的相似对角化 Def4.8 一组两两正交的非零向量称为正交向量组. 由单 位向量构成的正交向量组叫做正交的单位向量组(或标准 正交向量组、规范正交向量组). 是规范正交向量组 Thm4.11 n元向量组 是两两正交非零向量组， 则 必线性无关. 证: 设有数 ， 使得 用 左乘上式，得 因为 所以必有 同理可推知必有 故由此可知 线性无关. 现在提出两个问题： 对于给定的正交向量组，能否扩充向量，使得它变成一 个含有更多向量的正交向量组? 对于给定的线性无关的向量组，能否找到一个与它等价 的正交向量组？ 例3.1已知三元向量 试求 一个非零向量 ，使得 成为正交向量组. 解: 容易验证 与 正交，因此只要求出的 与 都 正交即可. 是方程组 的非零解. 记 解方程组 由于 得方程组AX= 0的一个非零解 取 则 就是正交向量组. 施密特(Schimidt)正交化方法 Thm4.12 设 是一个n元线性无关向量组，令 得 是一个正交向量组，且与原向量组等价； 再将它们单位化即可得原向量组等价的标准正交向量组. 例3.2 用施密特正交化方法将如下向量组 化为标准正交向量组. 解: 显然 线性无关，先将它们正交化，令 再将 单位化，得标准正交向量组： 二、正交矩阵与正交变换 Def4.9 设有n阶实矩阵A，如果 ，则称A为正交 矩阵. Thm4.13 设A, B为n阶正交矩阵，则 (1) (2) (3) 也是n阶正交矩阵. Thm4.14 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列(或 行)向量组是标准向量组. 例如矩阵 可以验证A是正交阵. 显然可以看出，A的列向量组是标准正交向量组，A的行 向量组也是标准正交向量组. Def4.10 设U为正交阵，则线性变换 称为正交变换. 正交变换保持向量的长度不变. 这是因为 对称矩阵作为一种特殊矩阵，具有很多独特的性质，有 十分广泛的应用，在本节介绍对称矩阵的相似对角化问 题：将证明对称矩阵一定可以相似合同对角化. 乘积 称为对A施行合同变换. 一、向量的内积和向量的正交化 二、正交矩阵与正交变换 三、实对称矩阵特征值和特征向量的性质 四、实对称矩阵的相似对角化 三、实对称矩阵特征值和特征向量的性质 Thm4.15 实对称矩阵的特征值为实数. 证：设A是一个n 阶实对称矩阵， 是A的特征值， 是A的属于 的特征向量. 实对称矩阵的特征向量可以取为实向量. Thm4.16 实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量相 互正交. 证：设 是A的两个不同的特征值，它们对应的特征 向量分别是 Thm4.17 设A为n 阶实对称矩阵， 是A的 r 重特征值， 则A的属于特征值 的线性无关特征向量恰有 r 个. (矩阵 的秩为 ). 此结论对于非实对称矩阵不一定成立. 四、实对称矩阵的相似对角化 Thm4.18 对于任意一个 n 阶实对称矩阵A，都存在一个 n 阶正交矩阵U，使得 为对角阵. 此结论可以用数学归纳法给出证明，由Thm4.18很容易 推出Thm4.17. 证：设 是实对称矩阵A的特征值， 是对应的单位特征 向量. 首先我们可以将 扩充为一个含有n个实向量的规 范正交向量组： 记 ，则P 是一个正交矩阵. 其中 是n-1阶实对称矩阵，由归纳假设知，存在正交阵