立体几何中的向量方法之方向向量与法向量平行垂直辩析.ppt

例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD 的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD. 证1 立体几何法 例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD 的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD. 证法2 MN⊥AB, 同理 MN⊥CD. 例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD. 证法3 如图所示建立空间直角坐标系，设AB=2. x y Z x y 练习 棱长为a 的正方体 中,E、F分别是棱AB,OA上的动点，且AF=BE,求证： O’ C’ B’ A’ O A B C E F Z x y 解：如图所示建立空间 直角坐标系，设AF=BE=b. A B C D P E F X Y Z 证法1：如图所示建立 空间直角坐标系，设DC=1. * * 例2答案 * 例2答案 知识要点2 例1 * 例1答案 * 例1答案 * 例1答案 3.2立体几何中的向量方法 ---------方向向量与法向量 l A P １．直线的方向向量 直线l的向量式方程 换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量 一、方向向量与法向量 直线的方向 向量不唯一 2、平面的法向量 A l P 平面 α的向量式方程 换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面 的法向量 注：平面 α的法向量不唯一 几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量 是平面的法向量，向量 是与平面平行或在平面内，则有 巩固性训练1 1.设 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下 列条件,判断l1,l2的位置关系. 平行 垂直 平行 巩固性训练2 1.设 分别是平面α,β的法向量,根据 下列条件,判断α,β的位置关系. 垂直 平行 相交 o x y z A B C O1 A1 B1 C1 例1. 如图所示, 正方体的棱长为1 直线OA的一个方向向量坐标为___________ 平面OABC 的一个法向量坐标为___________ 平面AB1C 的一个法向量坐标为___________ (-1,-1,1) (0,0,1) (1,0,0) 令x、y、z中某个为定值 练习 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC 的中点， 求平面EDB的一个法向量. A B C D P E 解：如图所示建立空间直角坐标系. X Y Z 设平面EDB的法向量为 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系. 用向量方法解决立体问题 二、　立体几何中的向量方法 ——平行关系 m l 一. 平行关系： α α β 例1.用向量方法证明 定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行 已知 :直线l与m相交, α β ｍ ｌ 例2 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方 形, PD⊥底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的 中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE//FG. A B C D P G X Y Z F E A(6,0,0), F(2,2,0), E(3,3,3), G(0,4,2), AE//FG 证 ：如图所示, 建立 空间直角坐标系. // AE与FG不共线 几何法呢？ 例3 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正 方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的 中点， (1)求证：PA//平面EDB. A B C D P E G 解法1 立体几何法 A B C D P E X Y Z G 解法2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1 (1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG A B C D P E X Y Z 解法3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1 (1)证明： 设平面EDB的法向量为 练 如图，已知矩形 和矩形 所在平面相交于AD，点 分别在对角线 上，且 求证： A B C E F D M N 几何法呢？ 二、垂直关系： l m l A B C α β * * 例2答案 * 例2答案 知识要点2 例1 * 例1答案 * 例1答案 * 例1答案 * *