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§3.1.1空间向量及其运算
学习目标
1. 理解空间向量的概念,掌握其表示方法;
2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律;
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.
学习过程
一、(预习教材P84~ P86,找出疑惑之处)
复习1:平面向量基本概念:
具有 和 的量叫向量, 叫向量的模(或长度); 叫零向量,记着 ; 叫单位向量. 叫相反向量, 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 , ,和 共三种方法.
复习2:平面向量有加减以及数乘向量运算:
1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.
2. 实数与向量的积:
实数λ与向量a的积是一个 量,记作 ,其长度和方向规定如下:
(1)|λa|= .
(2)当λ>0时,λa与A. ;当λ<0时,λa与A. ;当λ=0时,λa= .
3. 向量加法和数乘向量,以下运算律成立吗?
加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb
二、新课导学
探究任务一:空间向量的相关概念
问题:什么叫空间向量?空间向量中有零向量,单位向量,相等向量吗?空间向量如何表示?
新知:空间向量的加法和减法运算:
空间任意两个向量都可以平移到同一平面内,变为两个平面向量的加法和减法运算,例如右图中, , ,
试试:
1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求.
2. 点C在线段AB上,且, 则 , .
反思:空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗?
法交换律:A. + B. = B. + a; ⑵加法结合律:(A. + b) + C. =A. + (B. + c);
⑶数乘分配律:λ(A. + b) =λA. +λb.
典型例题
例1 已知平行六面体(如图),
化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量:
变式:在上图中,用表示和.
小结:空间向量加法的运算要注意:首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,求空间若干向量之和时,可通过平移使它们转化为首尾相接的向量.
化简下列各式:
;
⑵
⑷ .
变式:化简下列各式:
⑸ ;
⑹ ;
⑺ .
小结:化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则,遇到减法既可转化成加法,也可按减法法则进行运算,加法和减法可以转化.
练1. 已知平行六面体, M为AC与BD的交点,化简下列表达式:
⑴ ;
⑵ ;
⑶
⑷ .
三、学习小结
1. 空间向量基本概念;
2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律
当堂检测:
1. 下列说法中正确的是( )
A. 若∣∣=∣∣,则,的长度相同,方向相反或相同;
B. 若与是相反向量,则∣∣=∣∣; C. 空间向量的减法满足结合律;
D. 在四边形ABCD中,一定有.
2. 长方体中,化简=
3. 已知向量,是两个非零向量,是与,同方向的单位向量,那么下列各式正确的是( )
A. B. 或 C. D. ∣∣=∣∣
4. 在四边形ABCD中,若,则四边形是( )
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形
5. 下列说法正确的是( )
A. 零向量没有方向 B. 空间向量不可以平行移动
C. 如果两个向量不相同,那么它们的长度不相等
D. 同向且等长的有向线段表示同一向量
§3.1.2 空间向量的数乘运算(一)
学习目标
1. 掌握空间向量的数乘运算律,能进行简单的代数式化简;
2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论;
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.
一、(预习教材P86~ P87,找出疑惑之处)
复习1:化简:
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