第3章_微分运动和速度试题.doc

第3章 微分运动和速度 3.1 引言 微分运动指机构（这里指机器人）的微小运动，可以用它来推导不同部件之间的速度关系。依据定义，微分运动就是小的运动。因此，如果在一个小的时间段内测量或计算这个运动，就能得到速度关系。 本章将学习坐标系相对于固定坐标系的微分运动、机器人关节相对固定坐标系的微分运动、雅可比矩阵以及机器人速度关系。本章包含了相当多的速度方面的术语，它们应该在动力学课程中见过。但是如果现在已记不起这些术语，建议在学习下面的内容之前复习有关的知识。 3.2 微分关系 首先要了解什么是微分关系。为此，先考虑如图3.1所示的具有两个自由度的简单机构。其中每个连杆都能独立旋转，表示第一个连杆相对参考坐标系的旋转角度，表示第二个连杆相对第一个连杆的旋转角度。对机器人也类似，每个连杆的运动都是指连杆相对于固连在前一个连杆上的当前坐标系的运动。 图 3.1 (a)具有两个自由度的平面机构；(b)速度图 点的速度可以计算如下： (3.1) 将速度方程写为矩阵形式得出如下结果： (3.2) 方程左边表示点速度的x和y分量。可以看到，方程右边的矩阵乘以两个连杆的相应角速度便可以得到点速度。 接下来，通过对描述点位置的方程求微分（而不采用从速度关系中直接推导的方程）可以找出相同的速度关系，具体如下： (3.3) 对上述方程组中的变量和求微分，得： (3.4) 写成矩阵形式为： (3.5) 点的 雅可比 关节的 微分运动 矩阵 微分运动 可以注意到，式(3.2)与式(3.5)无论在内容上还是形式上都很相似。不同的是，式(3.2)是速度关系，而式(3.5)是微分运动关系。如果式(3.5)两边都除以，就是和，因此式(3.6)和式(3.2)是完全相同的： (3.6) 同样，在我们所讲解的四（多）自由度的机器人中，可用同样的方法将关节的微分运动（或速度）与手的微分运动（或速度）联系起来。 3.3 雅可比矩阵 雅可比矩阵表示机构部件随时间变化的几何关系，它可以将单个关节的微分运动或速度转换为感兴趣的微分运动或速度，也可将单个关节的运动与整个机构的运动联系起来。由于和的值是随时间变化的，从而雅可比矩阵各元素的大小也随时间变化，因此雅可比矩阵是与时间相关的。 从3.2节中可知，雅可比矩阵是由位置方程的各元素对和求微分所得到的。因此，可以通过使用每个位置方程对所有变量求导来计算雅可比矩阵。 假如有一组变量为的方程： (3.7) 由的微分变化引起的的微分变化为： (3.8) 式(3.8)可以写成矩阵形式，它表示各单个变量和函数间的微分关系。如式(3.9)所示，包含这一关系的矩阵便是雅可比矩阵。因此，可以通过在每一个方程中对所有的变量求导来计算雅可比矩阵，也可以用同样的原理来计算机器人的雅可比矩阵。 (3.9) 同样，根据上述的关系，对机器人的位置方程求微分，可以写出下列方程，它建立了机器人的关节微分运动和机器人手坐标系微分运动之间的联系。 (3.10) 其中，中的，及表示机器人手沿，及轴的微分运动，中的，及表示机器人手绕，及轴的微分旋转，表示关节的微分运动。正如前面所提到的，如果这两个矩阵都除以，那么它们表示的就是速度而非微分运动。由于在所有关系中只要将微分运动除以便可以得到速度，所以在这一章所处理的都是微分运动而非速度。下面我们分析SCARA四自由度机器人的连杆速度及雅可比矩阵。 1. 雅可比矩阵 末端连杆的角速度和线速度相对于基坐标系简写为，根据广义速度公式 (3.11) 它与关节速度q之间的关系就是由雅可比矩阵组成的线性映射 (3.12) 2. SCARA四自由度机器人的连杆速度、雅可比矩阵 SCARA四自由度机器人的结构和运动具有如下特点：四个关节，四个关节中有三个是转动关节（关节1、2、4），一个是移动关节（关节3）。根据速度传递法可推导出雅可比矩阵如下： 旋转矩阵： (3.13) 由于基坐标系固定不动，因而 (3.14) 连杆1的角速度和速度为 ；