第五章线性方程组的直接方法试题.ppt

§5.3 高斯主元素消去法 交换原则：通过方程或变量次序的交换，使在对角线位置上获得绝对值尽可能大的系数作为akk(k)，称这样的akk(k) 为主元素，并称使用主元素的消元法为主元素法 根据主元素选取范围分为：列主元素法、行主元素法、全主元素法 主元素法的意义 全主元素法不是按列选主元素，而是在全体待选系数中选取，则得全主元素法。 例5.3 用全主元素法解下列线组 计算m21=-19/40=0.475，m31=4/40=0.1 (5)- m21(4), (6)- m31(4) 消去x2 得 保留有主元素的方程 5.3.2 列主元素法 列主元素法就是在待消元的所在列中选取主元，经方程的行交换，置主元素于对角线位置后进行消元的方法。 例5.4 用列主元素法解下列线性方程组 (5)- m21(4), (6)- m31(4)得 保留有主元素的方程 为了研究线性方程组近似解的误差估计 和迭代法的收敛性, 有必要对向量及矩阵的 “大小”引进某种度量----范数的概念。向量范 数是用来度量向量长度的,它可以看成是二、 三维解析几何中向量长度概念的推广。用Rn 表示n维实向量空间。 定义5.2 对任一向量X?Rn, 按照一定规则确定一个实 数与它对应, 该实数记为||X||, 若||X||满足下面三个 性质: (1) ||X||?0；||X||=0当且仅当X=0； (2) 对任意实数?， || ? X||=| ? | ||X||； 对任意向量Y?Rn，||X+Y|| ? ||X||+||Y|| 则称该实数||X||为向量X的范数 在Rn中，常用的几种范数有： 当不需要指明使用哪一种向量范数时，就用记号||.||泛指任何一种向量范数。 有了向量的范数就可以用它来衡量向量的大小和表示向量的误差。 设x*为Ax=b的精确解，x为其近似解，则其绝对误差可表示成||x- x* ||，其相对误差可表示成 定义5.5（矩阵的范数）如果矩阵 的某个非负的实值函数 ，满足 记笔记 §5.7 向量和矩阵的范数 §5.7 向量和矩阵的范数 记笔记 其中x1,x2, …,xn分别是X的n个分量。以上定义的 范数分别称为1-范数，2-范数和?-范数 可以验证它们都是满足范数性质的，其中 是由内积导出的向量范数。 §5.7 向量和矩阵的范数 记笔记 §5.7 向量和矩阵的范数 或 例5.10 证明对任意同维向量x , y 有 证： 即 例5.11 设x=(1, 0, -1, 2)T, 计算 解: 定理7.1 对于任意向量x ,有 证: ∵ ∴ 即 当 p→∞， ∴ 定义5.4 ( 向量序列的极限 ) 设 为 中的 一向量序列， , 记 。如果 (i =1,2,…, n)，则称 收敛于向量 ，记为 定理7 .2（向量范数的等价性）设 为 上任意两种向量范数, 则存在常数C1,, C20, 使得对任意 恒有 （证:略） 定理7 其中 为向量中的任一种范数。 ? 证 由于 ? 而对于 上的任一种 范数, 由定理3.7 知存在常数C1，C2，使 于是可得 从而定理得证。 则称 是 上的一个矩阵范数(或模) 矩阵范数定义的另一种方法是 这是由于 同样，矩阵范数和向量范数密切相关，对向量p-范数有相应的矩阵范数，即 所以有 定义5.7（矩阵的谱半径）设 的特征 值为 , 称 为A的 谱半径。 例 5.12 计算方阵 的三种常用范数 例5.12 计算方阵 的三种范数 解 先计算 所以 ,从而 定理5.8.1 设A为n阶方阵, 则对任意矩阵范数 都有 证: 设 为A的特征值，x是 对应于的特征向 量,则 x=Ax。两端取范数并依据