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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节平面向量的概念及其线性运算
基础盘查一 向量的有关概念
(一)
1.了解向量的实际背景;
2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;
3.理解向量的几何表示.
(二)
1.判断正误
(1)向量与向量是相等向量( )
(2)向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小( )
(3)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量( )
(4)|a|与|b|是否相等与a,b的方向无关( )
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√
2.(人教A版教材例题改编)如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与,,相等的向量.
解:==;
==;
===.
(一)
1.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义;
2.掌握向量数乘的运算及其几何意义;
3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
(二)
1.判断正误
(1)两个向量的差仍是一个向量( )
(2)=- ( )
(3)向量a-b与b-a是相反向量( )
(4)两个向量相加就是两个向量的模相加( )
答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2.(人教A版教材习题改编)化简:
(1)(+)++=________.
(2)++-=________.
答案:(1) (2)0
(一)
理解两个向量共线的含义,掌握向量的共线定理及应用.
(二)
1.判断正误
(1)若向量a,b共线,则向量a,b的方向相同( )
(2)若ab,bc,则ac( )
(3)向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上( )
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√
2.已知a与b是两个不共线的向量,且向量a+λb与-(b-3a)共线,则λ=________.
答案:-
(基础送分型考点——自主练透)
[]
(1)向量:既有大小,又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模.
(2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.
(3)单位向量:长度等于1个单位的向量.
(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线.
(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.
[]
1.给出下列命题:
若|a|=|b|,则a=b;
若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;
若a=b,b=c,则a=c;
a=b的充要条件是|a|=|b|且ab;
若ab,bc,则ac.
其中正确命题的序号是( )
A. B.
C. D.
解析:选A 不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
正确.=,||=||且,
又A,B,C,D是不共线的四点,
四边形ABCD为平行四边形;
反之,若四边形ABCD为平行四边形,
则且||=||,因此,=.
正确.a=b,a,b的长度相等且方向相同,
又b=c,b,c的长度相等且方向相同,
a,c的长度相等且方向相同,故a=c.
不正确.当ab且方向相反时,既使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且ab不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.
不正确.考虑b=0这种特殊情况.
综上所述,正确命题的序号是.故选A.
2.设a0为单位向量,下述命题中:若a为平面内的某个向量,则a=|a|·a0;若a与a0平行,则a=|a|a0;若a与a0平行且|a|=1,则a=a0.假命题的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:选D 向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.
[]
平面向量有关概念的核心
(1)向量定义的核心是方向和长度.
(2)非零共线向量的核心是方向相同或相反,长度没有限制.
(3)相等向量的核心是方向相同且长度相等.
(4)单位向量的核心是方向没有限制,但长度都是一个单位长度.
(5)零向量的核心是方向没有限制,长度是0,规定零向量与任何向量共线.
(重点保分型考点——师生共研)
[]
1.向量的加法
定义:求两个向量和的运算.
运算法则(几何意义):如图
运算律:(1)交换律:a+b=b+a;
(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
2.向量的减法
定义:向量a加上向量b的相反向量,叫做a与b的差,即a+(-b)=a-b.求两个向量差的运算叫做向量的减法.
运算法则(几何意义):如图
3.向量的数乘
定义:实数λ与向量a的积运算,即λa.
运算法则(几何意义)
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