第2节数量积向量积混合积试题.ppt

34 第二节 学习指导 教学目的： 掌握向量的数量积、向量积的概念，熟练掌握数量积、向量积的运算及性质。 基本练习： 会计算向量的数量积、向量积。 注意事项 向量与数量是两个不同的概念。向量的运算是既有大小（模）又有方向的运算，这是与数的运算（只有大小）不相同的。要注意数量积、向量积、混合积的定义，不要将数的一些运算规律随意用到向量中． 数的乘法只有一种，其结果还是数，而向量的乘法有多种，例如，数量积、混合积的结果是数，向量积的结果是向量。 一、两向量的数量积 内容小结 混合积: 设 1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: 叉积: * 高等数学 ● 戴本忠 *三、向量的混合积 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 数量积 向量积 *混合积 第七章 设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2. 以s表示位移. 数量积的物理背景 由物理学知道, 力F所作的功为 W?|F||s|cos? , 其中? 为F与s的夹角. 启示 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角? 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作a?b, 即 a·b?|a||b|cos? . 数量积的定义 根据数量积, 力F所作的功W就是力F与位移s的数量积, 即 W?F?s . 数量积与投影 由于|b|cos??|b|cos(a ^ b), 当a?0时, |b|cos(a ^ b)是向量b在向量a的方向上的投影, 于是 a·b?|a|Prjab. 同理, 当b?0时, a·b?|b|Prjba. 所以, 一、两向量的数量积 数量积也称为“点积”、“内积”。 结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积。 关于数量积的说明： 证 证 数量积符合下列运算规律： （1）交换律： （2）分配律： （3）若 为数： 若 、 为数： 例1 试用向量证明三角形的余弦定理 记 则有 从而 由 及 即得 设在 中， 要证 证： 数量积的坐标表达式 设 两向量夹角余弦的坐标表示式： 由此可知两向量垂直的充要条件为 例2 已知三点M(1, 1, 1)、A(2, 2, 1)和B(2, 1, 2), 求?AMB. 从M到A的向量记为a, 从M到B的向量记为b, 则?AMB 就是向量a与b的夹角. 因为 a?b?1?1?1?0?0?1?1, b ?(2, 1, 2)?(1, 1, 1) a ?(2, 2, 1)?(1, 1, 1) ?(1, 1, 0), ?(1, 0, 1). 解 证 从而, 所求液体的质量为 P=rAv·n. 体积为 A|v|cosq=Av·n. 这柱体的高为 |v|cosq, 解 单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为|v|的斜柱体. 例4 在流速为(常向量)v的液体内有一个平面区域A, n为垂直于A的单位向量, 计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P(液体的密度为r). 实例 二、两向量向量积 从给定点到力作用线任意点的向径和力本身的矢积。 定义 向量积的性质： // 向量积的运算律： （1）交换性： （2）分配律： ——向量积的坐标表达式 向量积可用三阶行列式表示 // 由向量积的坐标表达式知： 例如， 补充： 解 例4 设 ， ，计算 . 解 解 根据向量积的定义，三角形ABC的面积为 例5 已知三角形ABC的顶点分别是A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7)，求三角形ABC的面积. 由于 因此 于是 解 三角形ABC的面积为 提示： 例6 设刚体以等角速度?绕l轴旋转, 计算刚体上一点M的线速度. 刚体绕l轴旋转时, 我们可以用在l轴上的一个向量w表示角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手规则定出: 即以右手握住l轴, 当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时, 大姆指的