第2节二阶线性微分方程试题.ppt

第2节 二阶线性微分方程 二.二阶常系数线性微分方程的解法 根据叠加原理，原方程的特解为 原方程的通解为 解 例9 设有一弹簧上端固定， 下端挂一质量为 m 的重物, 平衡位置为o点，若将重物 拉下一段距离 s。然后放开 让其振动，设重物在运动过程中, o s 还受到与运动速度成正比的阻力。 (2)若在振动过程中，还 受到一 个周期性外力 的作用，求振动规律。 (1)求重物的振动规律。 * 二阶线性微分方程： ---- (2) ---- (1) 若 为常数 n阶线性微分方程: 自由项 线性齐次方程: 线性非齐次方程: 二阶常系数线性微分方程： 1 .解的性质 为齐次方程（2）的两个解, 性质 为非齐次方程（1）的两个 证 为齐次线性方程(2)的解，故有 两式分别乘以 后相加，得： 一.二阶线性微分方程解的结构 由定义知， 为齐次方程 (2) 的解. 为非齐次方程（1）的两个解，则 两式相减即知 2.函数的线性相关性： 定义1 对于定义在区间 I 上的 n个 函数 若存在 n 个不全为零的数 则称函数 在I上线性相关， 否则称为线性无关. 定义2 定理 1 定理 2 定理3 二阶线性齐次方程（2）必存在两个线性无关的解。 是 (2) 的通解（ 为任意常数). 证 为二阶线性齐次方程（2）的 两个线性无关的解,则 定理4 由性质知， 为齐次方程 (2) 的解. 两个独立的任意常数， 线性无关保证了 为 为二阶线性齐次方程 (2) 的通解. 从而 定理 5 所对应的齐次方程(2)的通解，则 为非齐次方程 (1) 的通解。 设 是二阶线性非齐次方程 (1) 的一个特解， 证 为非齐次方程 (1) 的解，又 两式相加 含有两个独立的任意常数. 含有两个独立的任意常数，为 (1) 通解。 从而 例 1 已知二阶线性方程 的三个特解 求满足 的特解。 解 为对应齐次方程的两个线性无关的解， 的通解为 特解为： 故 例 2 已知二阶线性方程 ，求该方程的通解。 的一个特解为 解 定理 6（叠加原理) 1.二阶常系数线性齐次微分方程通解的求法 二阶常系数线性齐次方程 代入 的左边得： 特征方程： 有两个不等的实根 有两个相等的实根 有一对共轭复根， 其根(特征根)有三种情况： 对应于特征根的三种情况， 的通解有以下三种情况： 为 的两个线性无关的解， 的通解为： 为二重特征根） 于是 线性无关的解。 为 的一个解， 为 的解，代入方程得 的通解为 为两个线性无关的解， 故 的复数形式的通解为 还是 的解， 且线性无关 的实数形式的通解为： 性质 例3 求下列方程的通解： 解 特征方程： 特征根： ?通解为： 解 特征方程： 特征根： ?通解为： 特征方程： 特征根： ?通解为： 解 n 阶常系数线性齐次方程: 特征方程： 二阶常系数线性齐次方程求通解的方法和结论可推广到 n 阶常系数线性齐次方程,求出特征根后就可相应地得到 方程的解. 例4 求方程 的通解. 解 特征方程： 特征根： ?通解为： 2.二阶常系数线性非齐次方程特解的求法 二阶常系数线性非齐次方程: 为一待定的 m 次多项式) 由观察知， 的特解 y* 必为多项式，形式如下: 为几种特殊形式时 的特解的方法. 方程化为以 z 为未知函数的方程： 由 （1） 中结论知： 时，上方程特解： 上方程特解： 上方程特解： 由此得原方程的特解： 不是特征根时， 是单重特征根时， 代入方程得 通解为： 解 例 5 求下列方程的通解： 是二重特征根时， 代入方程得 设 解 通解为： 定理 7 *