第五讲幂级数(一)试题.ppt

2. 在幂级数 中, n 为奇数 n 为偶数 能否确定它的收敛半径不存在 ? 答: 不能. 因为 当 时级数收敛 , 时级数发散 , 说明: 可以证明: 比值判别法成立 根值判别法成立 例4. 求下列幂级数的收敛区间. 解: (1)令 级数变为 于是 的收敛区间为 解: (1)令 级数变为 于是 级数 在 收敛， 例4. 求下列幂级数的收敛域. * * 运行时, 点击相片, 或按钮“阿贝尔” 可显示阿贝尔简介, 并自动返回. * * * * 第二、三节 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的性质 函数项级数与幂级数 第四章 一、 函数项级数的概念 (1)设 为定义在区间 I 上的函数项级数 . (2)对 若常数项级数 所有收敛点的全体称为其收敛域X ; 若常数项级数 为定义在区间 I 上的函数, 称 收敛, 发散 , 为其收敛点， 为其发散点, 所有发散点的全体称为其发散域 . 为级数的和函数 , 并写成 (4)若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项的和, 即 (3)在收敛域X上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它 二、 函数项级数的收敛域 1.借助于已有级数（几何级数，p级数）敛散性 例１. 求级数 的收敛域。 解： 它的收敛域是区间 有和函数 上面级数可看成以 为公比的等比级数。 又如, 级数 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 2.借助于数项级数，利用比值（根值）法求 利用比值（根值）法判别绝对值级数发散，则原级数也发散的性质。 设 为正项级数, 且 则 (1) 当 (2) 当 时, 级数收敛 ; 或 时, 级数发散 . (3) 当 时, 级数可能收敛也可能发散 。 步骤： 1.用比值（根值）法求 ； 2.解不等式 求出 的收敛区间 3.考查 时，级数 的敛散性； 4.写出 的收敛域。 例2. 求级数 的收敛域。 解： 解不等式 原级数化为 令 得 收敛； 原级数化为 令 收敛； 原级数收敛域是 练习： 求级数 的收敛域。 #2014030301 2.借助于数项级数，利用比值（根值）法求 1.借助于已有数项级数（几何级数，p级数）敛散性 一般函数项级数收敛域求法 三、幂级数及其收敛性 (1)形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 为幂级数的系数 . 称 令 则幂级数化为 不失一般性，下面讨论幂级数 (2)幂级数的收敛半径与收敛域 任何幂级数在0都收敛。 由例1知其收敛域是一个区间。 定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 在 的一切 x , 该幂级数也发散 . 点发散 , 则对满足不等式 发 散 发 散 收 敛 收敛 发散 阿贝尔(1802 – 1829) 挪威数学家, 近代数学发展的先驱者. 他在22岁时就解决了用根式解5 次方程 的不可能性问题 , 他还研究了更广的一 并称之为阿贝尔群. 在级数研究中, 他得 到了一些判敛准则及幂级数求和定理. 论的奠基人之一, 他的一系列工作为椭圆函数研究开 拓了道路. 数学家们工作150年. 类代数方程, 他是椭圆函数 C. 埃尔米特曾说: 阿贝尔留下的思想可供 后人发现这是一类交换群, 证: 设 收敛, 则必有 于是存在 常数 M 0, 使 当 时, 收敛, 故原幂级数绝对收敛 . 也收敛, 下面用反证法证之. 假设有一点 满足 且使级数收敛 , 级数在点 的 x , 原幂级数也发散 . 则对一切满足不等式 则由前可知 也应收敛, 与所设矛盾。 证毕 设 发散, 界 点 因此，当我们从原点出发，沿数轴向两方走， 后来遇到的全部是发散点. 起初只遇到收敛点， 讨论：在界点处函数项级数敛散性正确描述是（） 答：在界点处级数可能收敛，也可能发散，在两个界点处的敛散性未必相同，要单独讨论. (a)在界点处函数项级数敛散性相同，且都发散 (b)在界点处函数项级数敛散性不同，且必有一个发散 (c)在界点处函数项级数敛散性不同，但不能绝对收敛 (d)在界点处函数项级数敛散性绝对收敛，条件收敛，发散均可能 #2015031301 定义1 若幂级数 在 这个R称为幂级数 的收敛半径，而把开区间（-R,R）称为收敛区间。 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ， 规定 R = 0 ； 幂级数仅在 x = 0 收敛 ， R = ? 。 (1)幂级数的收敛域是区间； (2)幂级数 在 (a,b) 内收敛 ， 在 (a,b) 外发散 ， 例3. 设 在 处收敛， 则此级数在 处收敛性如何？ （A）条件收敛 （B）