第四章线性相关性试题.ppt

定义：n 个有次序的数 a1, a2, …, an 所组成的数组称为n 维向 量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量． 分量全为实数的向量称为实向量． 分量全为复数的向量称为复向量． 备注： 本书一般只讨论实向量（特别说明的除外） ． 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量． 所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量． 本书中，列向量用黑色小写字母 a, b, a, b 等表示，行向量则用 aT, bT, aT, bT 表示． 定理：设A是一个 m×n 矩阵， 对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； 对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵. 结论：若 C = AB ，那么 矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵．（A 在左边） 矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵．（B 在右边） 定义：给定向量组 A：a1, a2, …, am ， 对于任何一组实数 k1, k2, …, km ，表达式 k1a1 + k2a2 + … + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合． k1, k2, …, km 称为这个线性组合的系数． 定义：给定向量组 A：a1, a2, …, am 和向量 b，如果存在一组 实数 l1, l2, …, lm ，使得 b = l1a1 + l2a2 + … + lmam 则称向量 b 能由向量组 A 的线性表示． 问题1：给定向量组 A，零向量是否可以由向量组 A 线性表 示？ 问题2：如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的 系数是否不全为零？ 定义：给定向量组 A：a1, a2, …, am ，如果存在不全为零的实 数 k1, k2, …, km ，使得 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量） 则称向量组 A 是线性相关的，否则称它是线性无关的． 定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处 的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式． 规定：零矩阵的秩等于零． 定义：设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, …, ar，满足 向量组 A0 ：a1, a2, …, ar 线性无关； 向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有r + 1个向量的话）都线性相关； 那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大线性无关向量组， 简称最大无关组． 最大无关组所含向量个数 r 称为向量组 A 的秩，记作RA ． 结论：向量组 A 和它自己的最大无关组 A0 是等价的． 定义：设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, …, ar，满足 向量组 A0 ：a1, a2, …, ar 线性无关； 向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有 r + 1个向量的话）都线性相关； 向量组 A 中任意一个向量都能由向量组 A0 线性表示； 那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组． 结论：向量组 A 和它自己的最大无关组 A0 是等价的． 用 A0 来代表 A，掌握了最大无关组，就掌握了向量组的全体． 特别，当向量组 A 为无限向量组，就能用有限向量组来代表． 凡是对有限向量组成立的结论，用最大无关组作过渡，立即可推广到无限向量组的情形中去． 包含 n 个未知数的齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) n ． 包含 n 个未知数的非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) = R(A, b)，并且 当R(A) = R(A, b) = n时，方程组有唯一解； 当R(A) = R(A, b) n时，方程组有无限多个解． 问题：什么是线性方程组的解的结构？ 答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限 多个解时，解与解之间的相互关系． 备注： 当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构． 下面的讨论都是假设线性方程组有解． 定义：设有齐次线性方程组 Ax = 0 ，如果 x1 = x11， x2 = x21，...， xn = xn1 为该方程组的解，则 称为方程组的解向量． 性质1：若 x = x1， x = x2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = x1 + x2 还是 Ax = 0 的解． 证明： A(x1 + x2 ) = Ax1+ Ax2 =