第8章因子试题.ppt

第三节 因子载荷矩阵的估计方法 例：为了客观评价全国各地区的竞争能力水平，现选择了8项竞争力评价指标。它们是 X1：城镇居民人均全年家庭可支配收入（元） X2：财政收入（万元） X3：地区生产总值（亿元） X4：城市用水普及率（%） X5：城市燃气普及率（%） X6：每万人拥有公共汽车车辆（标台） X7：人均城市道路面积（平方米） X8：人均公园绿地面积（平方米）。 试利用因子分析法对全国31个地区的竞争力水平进行综合评价。 第二节 因子分析的数学模型 一、因子分析数学模型（按列） 三、因子分析中的几个统计特征 1、因子载荷矩阵A的统计意义。 四、因子分析模型的性质 2、模型不受计量单位的影响 将原始变量X 作变换 X*=CX, 这里 C＝diag(c1,c2,…,cn),ci0。 3、因子载荷不是惟一的 设T为一个p×p的正交矩阵，令A*=AT，F*=T’F，则模型可以表示为 第三节 因子载荷矩阵A的估计方法 设随机向量 的均值为?，协方差为?, 为?的特征根， 为对应的 标准化特征向量。 上式给出的?表达式是精确的，然而它仅有理论上的意义，因为我们的目的是寻求用少数几个公共因子解释。考虑到后面的特征根均非常小，故略去后面的p-m项的贡献。 例1 假定某地固定资产投资率 ，通货膨胀率 ，失业率 ，相关系数矩阵为 试用主成分分析法求因子分析模型。 特征根为： 可取前两个因子F1和F2为公共因子，第一公因子F1物价就业因子，对X的贡献为1.55。第二公因子F2为投资因子，对X的贡献为0.85。 二、主因子法 主因子方法是对主成分方法的修正。假定对X的相关阵R=（rij）首先进行标准化变换。则 R=AA’+D R*=AA’=R-D 称R*为约相关矩阵，R*对角线上的元素是 , 而不是1，D =D(ε)。即 Sj是Fj对所有的Xi（i=1，2，…，p)的方差贡献，用来衡量Fj的相对重要性。因此我们希望先求出贡献大的因子，然后再依次求出贡献相对较小的因子。由因子模型可知R*=AA’,即 为R*=AA’中的元素,ai(i=1，2，…，p)是载荷矩阵的第i行。 设使S1最大的向量为 ，显然向量必须满足p2个约束条件， 因此这是一个条件极值的问题，用拉格朗日乘数法有目标函数 在实际的应用中，个性方差矩阵一般都是未知的，可以通过一组样本来估计。估计的方法有如下几种： 假定某地固定资产投资率 ，通货膨胀率 ，失业率 ，相关系数矩阵为 试用主因子分析法求因子分析模型。假定用 代替初始的 ， 。 第四节 因子旋转（正交变换） 建立因子分析的目的不仅仅要找出公共因子以及对变量进行分组，更重要的要知道每个公共因子的意义，以便进行进一步的分析，如果每个公共因子的含义不清，则不便于进行实际背景的解释。由于因子载荷阵是不惟一的，所以应该对因子载荷阵进行旋转。目的是使因子载荷阵的结构简化，使载荷矩阵每列或行的元素平方值向0和1两极分化。有三种主要的正交旋转法：四次方最大法、方差最大法和等量最大法。 因素旋转的目的是想通过改变坐标轴的位置，重新分配各个因素所解释变异的比例，使因素结构更为简单，更易于解释。因素旋转不会改变模型对数据的拟合程度，也不会改变每个变量的共通性，但却会改变因素的变异数贡献。所谓「简单的因素结构」是指每个变量在尽可能少的因素上有比较高的负荷。以因素为轴，因素负荷为坐标而作图，则每个变量是该空间中的一个点，该图称为因素负荷图。如图1和图2所示。 1、变换后因子的共同度 设?正交矩阵，作正交变换，B是新的载荷矩阵 2、变换后因子贡献 设?正交矩阵，作正交变换 四次方最大旋转是从简化载荷矩阵的行出发，通过旋转初始因子，使每个变量只在一个因子上又较高的载荷，而在其它的因子上尽可能低的载荷。如果每个变量只在一个因子上又非零的载荷，这是的因子解释是最简单的。 四次方最大法通过使因子载荷