第4章根轨迹试题.ppt

4.5.1 已知根轨迹增益Kr确定闭环极点 闭环系统的性能由闭环传递函数的零、极点来决定，系统的闭环极点可通过根轨迹图来确定，而闭环零点为前向通道传递函数G(S)的零点和反馈通道传递函数H(s)的极点组成。 由控制系统的根轨迹图可以确定根轨迹增益与控制系统的性能的关系。 （1） 稳定性及稳定条件 由根轨迹图可以确定根轨迹都位于s左平面时增益Kr的取值范围。 （2）运动形式 由根轨迹图可以确定系统响应为单调变化或衰减振荡形式时的Kr数值范围。 （3）暂态性能指标 可由根轨迹确定的主导极点来估算。 * 第4章 根轨迹分析法 4.1 根轨迹的基本概念 4.2 绘制根轨迹的方法 4.3 参量根轨迹 4.4 零度根轨迹 4.5 用根轨迹分析系统性能 4.6 MATLAB用于根轨迹分析 * 4.1 根轨迹的基本概念 4.1.1 根轨迹 4.1.2 根轨迹方程 * 4.1.1 根轨迹 设系统的结构如图所示。其中，Ｋｒ为零、极点形式下开环传递函数的放大系数，也称为根轨迹增益。 系统的闭环传递函数为 闭环特征方程式为 特征根为 * 1）０＜Ｋｒ＜１时，系统有两个不相等的实数根，呈过阻尼状态。 结合关于高阶系统的分析一节，可得出以下几点： 2）当Ｋｒ＝１时，特征根为两个相等的实数根，系统呈临界阻尼状态。 3）１＜Ｋｒ值＜∞时，特征根为两个复数根，系统呈欠阻尼状态，即输出呈衰减振荡形式。特征根的实部σ为衰减系数，虚部ω为振荡频率。 * 4.1.2 根轨迹方程 设系统的结构如图所示。 系统的闭环传递函数为 开环传递函数的一般表达式为 式中，ｚｉ为开环传递函数的零点，ｐｊ为开环传递函数的极点，Ｋｒ为根轨迹增益。系统的闭环特征方程式为 即 * 定义根轨迹方程为 因ｓ为复变量，根轨迹方程又可分解为幅值方程和相角方程。 相角方程为 幅值方程为 或 * 可见，幅值方程与根轨迹增益Kr有关，而相角方程却Kr与无关。所以，当s平面上的某个点满足相角方程时，则该点必在根轨迹上。而该点的对应的Kr值，可以通过幅值方程求出。 因此，相角方程是确定s平面上的某个点是否在根轨迹上的必要条件，所有满足相角方程的s就构成了闭环特征方程式根的轨迹。这样，无需对特征方程式求解，只要寻找满足相角方程的s，便可得到系统的闭环根轨迹。 * 4.2 绘制根轨迹的方法 4.2.1 绘制根轨迹的基本规则 4.2.2 根轨迹绘制举例 * 1. 根轨迹的对称性和分支数 4.2.1 绘制根轨迹的基本规则 闭环特征根如果是实数根，则分布在ｓ平面的实轴上；如果是复数根，则成对出现，实部相等，虚部大小相等符号相反，如图所示。因此，形成的根轨迹必定对称于实轴。 当Ｋｒ取某一数值时，ｎ阶特征方程式有ｎ个确定的根。当Ｋｒ＝０→∞变化时，每一个根由始点连续地向其终点移动，形成一条根轨迹，ｎ个根也就形成ｎ条根轨迹。 * 2. 根轨迹的起点和终点 考虑到根轨迹起始处Kr＝０，故根轨迹幅值方程为 而根轨迹终点处Kr→∞,有m条根轨迹终止于开环传递函数的零点，n-m条终止于无穷远。 根轨迹起始于开环传递函数的极点，终止于开环传递函数的零点或无穷远。 使等式成立的条件是 * 例４-１ 已知系统的开环传递函数为 试确定系统的根轨迹图。 解 : 系统的开环零、极点为 p1=0, p2=-1, p3=-2， z1= -1+ j, z2= -1- j，根轨迹如图４-５所示。 图中，“×”表示开环传递函数的极点，“°”表示开环传递函数的零点。系统的三条根轨迹起始于三个开环传递函数的极点，其中两条根轨迹终止于开环传递函数的两个零点，另一条趋于无穷远。 * 3. 实轴上的根轨迹段 实轴上根轨迹段右侧的开环零、极点个数之和为奇数。 设系统的开环零、极点分布如图所示。 在实轴上p1与p2之间任取一点s1，s1与开环零、极点的矢量如图４-６中的箭头线所示。 s1对应的相角为 满足相角相角方程，即该区段是根轨迹段。 * 例4-2 已知系统的开环传递函数为 试画出该系统的根轨迹图。 图4-7 τT时的根轨迹 图4-8 τT时的根轨迹 * 4. 根轨迹的渐近线 趋于无穷远的根轨迹的渐近线由下式确定： 渐近线与实轴的夹角 渐近线与实轴的交点 例4-3 已知系统的开环传递函数为 试绘制系统的根轨迹图 * 5. 根轨迹的分离点和会合点 设系统的开环传递函数为 闭环特征方程为 根据重根的条件，必须同时满足以下两式 则 整理后，得分离会合点的必要条件式为 只有位于根轨迹上的重根 才是分离点或会合点 * 例4-4 已知系统的开环传递函数为 绘制