第四节.协方差和相关系数和分布的其他特征数选读.ppt

2、变异系数 定义2 设随机变量X 的二阶矩存在，则称比值 为X 的变异系数. 引例 用X表示某种同龄树的高度，其量纲为米，用Y表示某年龄段儿童的身高，其量纲也是米.设EX=10,Var( X )=1, EY=1,Var(Y )=0.04.试比较两者的波动大小。 例2 用X表示某种同龄树的高度，其量纲为米，用Y表示某年龄段儿童的身高，其量纲也是米.设EX=10,Var( X )=1, EY=1,Var(Y )=0.04.试比较两者的波动大小。 解： X的变异系数为 Y的变异系数为 说明 Y 的波动比 X 的波动大 3、分位数 定义3 设连续随机变量X 的分布函数为F(x), 密度函数为p(x), 对任意 ，称满足条件 的 为此分布的 p 分位数，又称下侧 p 分位数 同理称满足条件 的 为此分布的 上侧 p 分位数。 分位数的几何意义 x y x y (下侧)分位数 上侧分位数 转换公式： 例3 考虑标准正态分布N(0,1)的p分位数。 具有下列性质： x y o 那么对于一般正态分布 的p分位数。 4、中位数 定义4 设连续随机变量X 的分布函数为F(x), 密度函数为p(x), 称满足条件 的 为此分布的 中位数。 例4：求指数分布Exp(λ),正态分布N(μ, )的中位数. (1)指数分布函数 (2)利用正态分布关于μ对称可知， 5、偏度系数 定义5 设随机变量X 的三阶矩存在，则称比值 为X 的分布的偏度系数，简称为偏度。 x y x y o x y o o 分布为正偏或右偏 分布关于均值对称 分布为负偏或左偏 反映了随机变量密度函数曲线在众数(密度函数在这一点达到最值)两边的对称性. 6、峰度系数 定义6 设随机变量X 的四阶矩存在，则称比值 为X 的分布的峰度系数，简称为峰度。 峰度系数于偏度系数的差别 偏度系数刻画了分布的对称性； 峰度系数刻画了分布的陡峭性。 反映了随机变量密度函数曲线在众数附近的“峰”的尖峭程度. 偏度系数刻画了分布的陡峭性，把正态分布的 峰峭性作为标准。 考虑标准化后的分布的峰峭性，即 注：对任意的实数a,b(b≠0), 峰度系数 标准化后的分布与标准正态分布的峰峭性比较. X ,Y 相互独立 X , Y 不相关 X , Y 相互独立 X , Y 不相关 命题 X与Y相互独立 称 为 协方差矩阵,简称协方差阵. 定义 可以证明 协方差矩阵 为 半正定矩阵 定理2 二维正态随机变量的概率密度为: 33 现将上式中花括号内的式子写成矩阵形式，为此引入下列的矩阵 协方差矩阵为 34 它的行列式: C的逆阵为: 经过计算可知矩阵之积 36 于是的概率密度可写成: 上式容易推广到 n 维正态随机变量的情况. 引入列矩阵 38 n维正态随机变量 的概率密度定义为： 其中C是 的协方差阵。 四、n维正态变量的重要性质： 1) n维随机变量 服从n维正态分布的充要条件是 的任意的线性组合 服从一维正态分布。 40 2) 若 服从n维正态分布，设 是 的线性函数，则 也服从多维正态分布 . 这性质称为正态变量的线性变换不变性 n维正态分布在随机过程和数理统计中常会遇到. 3) 设 服从n维正态分布 则“ 相互独立”与“ 两两不相关” 是等价的。 42 注：关于正态分布的一个重要结论: 设X,Y相互独立,且都服从正态分布 则X,Y的任一线性组合: 仍服从正态分布 例: (1)设随机变量X与Y独立, 且服从均值为1、标准差为 的正态分布,而Y服从标准正态方布, 试求随机变量 Z=2X-Y+3 的概率密度函数. (2) 已知X,Y相互独立同服从 分布, 求 44 分析: 由于独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布, 而正态分布由其均值和方差唯一确定, 故只需确定Z的均值 E(X) 和方差 D(X) 即可. 解: (1) 由题意知, 且X与Y相互独立故X与Y的线性组合Z=2X-Y+3仍服从正态分布, 且 而 46 故 于是Z的概率密度函数为 : (2) 因为X与Y相互独立,且同服从 分布 ,故 X-Y 也服从正态分布。 故 又 因此 48 作业 P190 24 27、28、 设二维离散型r.v.( X ,Y )的联合分布列 若 则称 为在 Y = yj 的条件下,