第11章_量子力学基础选读.ppt

二、物理量算符的寻找： 能量为E，动量为P，沿 x 方向运动的自由粒子的波函数： 对t 求一阶偏导： 对x 求一阶偏导: 动能算符（v c）为： 猜测: 为动量算符。 猜测: 为能量算符。 推广到三维空间： 动能算符为： 动量算符为： 其中： 一维自由粒子满足的经典力学方程为： 三、薛定谔方程： 设粒子在某力场中的势能函数为 U(x,t) ，则： 即：对以位置为自变量的波函数而言，势能算符就是势能本身。 用算符替换相应的物理量，并作用到波函数上，得到： 一维非自由粒子满足的经典力学方程： 注意：非保守力场也可以引入势能概念（含时势能）。 推广到三维空间： 一维含时薛定谔方程 定态问题：保守力系统，势能函数与 t 无关，即U = U ( x ) 。 四、定态薛定谔方程： 定态问题中，粒子能量不随时间变化。根据寿命和能量的不确定关系，粒子可以长久稳定地处于同一个能级。 定态问题中，粒子状态是稳定的，粒子在空间各点出现的几率不随时间变化。 把 t 和 x 分离开来，波函数可写成： 一维定态薛定谔方程 解得： E 为粒子的能量。 1）薛定谔方程是猜想建立的，不是推导出来的。 2）微观粒子的运动状态用波函数描述及波函数满足薛定谔方程，应看成量子力学的基本原理。 3）薛定谔方程建立过程中假设了：物理量算符之间满足的规律和经典力学中相应物理量之间满足的规律完全相同。 4）薛定谔方程是低速条件下的经典力学的推广，对高速粒子不成立。 注意： §11 - 8 薛定谔方程的简单应用 给出势能U(x)，求解定态薛定谔方程 + 标准条件、归一化条件。 一、一维无限深势阱： 实例：金属中的自由电子。 一维定态薛定谔方程： 分段求解： x ≤ 0 和 x ≥a ， 。 0 ≤ x ≤ a 令 ， 则有: 其通解为： A、B、k 可由边界上连续的条件和波函数归一化条件确定。 根据边界条件，在x = 0，x = a 处 ψ = 0，可得： ∴ 波函数： ( n = 1 , 2 , 3... ) ——无限深势阱中，粒子能量是量子化的。 n 是定态标志 由归一化条件： 一维势阱中粒子的波函数： 得： 粒子出现的的概率密度： ——概率密度分布不均匀。 二、一维势垒、隧道效应: 这种势能称为一维方势垒。 在区域Ⅰ中沿x 轴运动的粒子，当能量E U0 时，按经典理论，粒子不可能进入区域Ⅱ，达到区域Ⅲ。 Ⅰ Ⅲ Ⅱ 定态薛定谔方程: （ Ⅱ区） （Ⅰ、 Ⅲ区） 边界上连续→ 区域Ⅱ、Ⅲ中Ψ( x ) 不为零。 其解： （Ⅱ区-衰减波） （Ⅰ区-行波） （Ⅲ区-行波） E U0 时粒子可以穿过势垒到达区域Ⅲ ，称为隧道效应。 分析：说明经典力学的概念和规律在微观领域已经失效了。 微观粒子以波的形式存在，用波函数描写其运动方式，并用特定的算符从波函数中提取物理量的值。 由此得到的物理量的值不一定满足经典物理学的规律。 穿透几率：势垒越宽，势垒越高，穿透几率越小。 （ Ⅱ区） 譬如，动能不一定永远取正值。 把针尖和物质表面作为两个电极，当物质表面与针尖的距离非常小（1nm）时，在外电场作用下电子即会穿过两极间的绝缘层流向另一极，产生隧道电流。 扫描隧道显微镜( STM ) ?????????????????????????????????? 利用STM把一氧化碳分子竖立在铂表面上 可以利用探针和材料平面间的作用调度材料平面上的原子。???? 量子力学名称的缘起和含义： 1）电磁波以量子（一份一份）的形态产生，传播和吸收； 2）实物粒子以波动的形态存在，其满足的力学规律完全不同于经典力学的情况。 量子力学的本质和核心思想： 所有物质既是波，又是粒子，存在形态都是波粒二象性的。 时间、空间融合在一起 狭义相对论 粒子性和波动性融合在一起 量子力学 当粒子处于束缚态时，粒子的存在形态（能量、位置等）是不连续的，量子化了。 §11 - 9 氢原子 一、 氢原子的量子力学处理方法: 电子的势能为： 电子的三维定态薛定谔方程： 二、 重要结果： 1、能量量子化 1）当 E 0 时，对 E 的任何值，方程都有解。 — 氢原子电离，电子为自由电子 2）当 E 0时，氢原子能量只能取分立值： n = 1,2,3…称为主量子数，决定电子的能量。 能量确定后，电子的角动量 L 可以有 n 个不同的值。 2、角动量量子化： 具有确定能量的电子的角动量可取若干个值，角动量大小： 注意：角动量大小与玻尔理论不同。 l 为角量子数 3、角动量的“空间取向量子化”： 具有确定角动量的电子，角动量L 在任意一轴上（如：沿磁场方向）投影 L