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第一部分 单自由度系统的振动 第一部分 单自由度系统的振动 第一部分 单自由度系统的振动 第一部分 单自由度系统的振动 第一部分 单自由度系统的振动 第一部分 单自由度系统的振动 第一部分 单自由度系统的振动 第一部分 单自由度系统的振动 第一部分 单自由度系统的振动 第一部分 单自由度系统的振动 第一部分 单自由度系统的振动 第一部分 单自由度系统的振动 第一部分 单自由度系统的振动 第一部分 单自由度系统的振动 第一部分 单自由度系统的振动 第一部分 单自由度系统的振动 第一部分 单自由度系统的振动 第一部分 单自由度系统的振动 第一部分 单自由度系统的振动 第一部分 单自由度系统的振动 第一部分 单自由度系统的振动 主要考点 3 单自由度有阻尼受迫振动系统方程建立及求解 2 根据振动衰减设计减振器 1 能量法求振动微分方程、固有频率 4 对任意激励的响应 (杜哈梅积分、卷积) 1 求系统的固有频率 ●基本方法 （1）静变形法 （2）求出振动微分方程，代入公式 1）牛顿定律 2）能量法 化简后可得振动方程 （3）能量守恒 化简后可得系统固有频率 1 求系统的固有频率 ●例题1 求图示滑轮系统的固有频率。滑轮与绳子的本身重量及绳子的弹性可略去不计。 绳子的弹性可略去不计。 解：x,x1,x2坐标如图所示，由滑轮系统分析有： 1 求系统的固有频率 所以： 系统的动能为： 系统的势能为： 2 求系统的固有频率 由 得 所以滑轮系统的固有频率 1 求系统的固有频率 ●例题2 如图所示杆长为l，为刚性杆，杆的质量忽略不计。在杆的最右端固定一质量块m， m与一刚度为k1的弹簧相连。距固定端a处悬挂一弹簧，弹簧的刚度为k2 ，求杆做微幅振动时的固有频率。 2 求系统的固有频率 解： 取 为广义坐标 系统的动能为 系统的势能为 因为，系统作微幅振动，其振动微分方程为 则 1 求系统的固有频率 由 系统的固有频率为 3 有阻尼系统的自由振动（小阻尼情况） ●基本概念 阻尼比： 式中c称为粘性阻尼系数，单位为N·s/m。 小阻尼自由振动的圆频率： 小阻尼自由振动的周期： 3 有阻尼系统的自由振动（小阻尼情况） ●响应求解 由 得 第一种形式 式中A与?为待定常数，决定于初始条件。 3 有阻尼系统的自由振动（小阻尼情况） ●响应求解 由 得 第二种形式 式中D1与D2为待定常数，决定于初始条件。 3 有阻尼系统的自由振动（小阻尼情况） ●阻尼的重要性质 一方面使系统振动的周期略有增大，频率略有降低，即 所以在阻尼比较小时，对周期和频率的影响可以忽略不计。 2 有阻尼系统的自由振动（小阻尼情况） ●阻尼的重要性质 另一方面使系统振动的振幅按几何级数衰减。 相邻两个振幅之比（减幅系数） 2 有阻尼系统的自由振动（小阻尼情况） ●阻尼的重要性质 对数减幅系数 ●测定阻尼的一种方法 测定衰减振动的第1次与第j+1次振动的振幅之比，就可以算出对数减幅?。 2 有阻尼系统的自由振动（小阻尼情况） ●例题 设有单自由度一小阻尼振动系统，阻尼比ζ=0.05 ，试用数值说明阻尼对该振动系统的影响。 Td=1.00125T 与无阻尼的情形比较，只差0.125%。 当ζ=0.05时， 解：一方面使系统振动的周期略有增大，频率略有降低，即 2 有阻尼系统的自由振动（小阻尼情况） ●例题 在ζ=0.05时， ?=1.366，A2=A1/1.366=0.73A1 亦即在每一个周期内振幅减小27%，振幅按几何级数缩减，衰减是显著的。 另一方面使系统振动的振幅按几何级数衰减。 3 对简谐激励的响应（单自由度有阻尼简谐激励振动系统） ●例题1 试用牛顿第二定律建立图示系统的振动微分方程，并求其稳态响应。 解：取静平衡位置为坐标原点 分析质点m的受力情况，作用在m上的力有： 弹性力： c 3 对简谐激励的响应（单自由度有阻尼简谐激励振动系统） 阻尼力： 外加干扰力： 由牛顿定律得： 即 其中 设上述方程的稳态解为 3 对简谐激励的响应（单自由度有阻尼简谐激励振动系统） 将稳态解代入原微分方程，得 由系数对比法，则有 从而 3 对简谐激励的响应（单自由度有阻尼简谐激励振动系统） 画单自由度有阻尼简谐激励受迫振动幅频响应曲线图，并分段讨论激振频率对振幅的影响 (如 等等)； ●例题2