第五章5.3概率的计算公式选读.ppt

例5 设某种动物从出生起活20岁以上的概率为80%，活25岁以上的概率为40%．如果现在有一个20岁的这种动物，求它能活25岁以上的概率． 解：设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件, 由条件概率公式容易得到下面定理． 定理1 设A与B是同一样本空间中的两个事件， 如果P(A) 0，则 如果P(B) 0，则　　 上面均称为事件概率的乘法公式． 定理1容易推广到求多个事件积事件概率的情况． 例6 某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，试求在该厂的产品中任取一件是一等品的概率． 解：设A = “任取的一件是合格品”， B = 任取的一件是一等品． 因为 　　　　　　　　　　　　 且 B ? A 所以 例7.某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？ 解：设Ai =“第i次接通电话”，i = 1，2，3， 　 B =“拨号不超过3次接通电话”， 则事件B的表达式为 利用概率的加法公式和乘法公式 若已知最后一位数字是奇数，则 引例 例12 n 个事件的独立性 （五）二项概率公式 二项概率公式 则有 注. 1o 说明 事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的发生与事件 B 发生的概率无关. 独立与互斥的关系 这是两个不同的概念. 两事件相互独立 两事件互斥 例如 二者之间没 有必然联系 独立是事件间的概率属性 互斥是事件间本身的关系 1 1 由此可见两事件相互独立但两事件不互斥. 两事件相互独立 两事件互斥. 由此可见两事件互斥但不独立. 又如： 两事件相互独立. 两事件互斥 若A与B互斥，则 AB = ? B发生时，A一定不发生. 这表明: B的发生会影响 A发生的可能性(造成A不发生), 即B的发生造成 A发生的概率为零. 所以A与B不独立. 理解: ? B A 若事件A与B相互独立, 则以下三对事件 也相互独立. ① ② ③ 注 称此为二事件的独立性 关于逆运算封闭. 甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被击中的概率. 解 设 A={ 甲击中敌机 } B={ 乙击中敌机 } C={敌机被击中 } 依题设, ∴ A与B不互斥 ( P(A)+P(B)=1.11≥P(A B) ) 由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以 A与B独立,进而 = 0.8 三事件两两相互独立的概念 定义 设 A1，A2 ，… ，An为n 个事件， 若对于任意k(1≤k≤n), 及 1≤i 1 i 2 ··· i k≤n 定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件相互独立，即对于一切 1 ≤i j ≤n, 有 定义 两个结论 n 个独立事件和的概率公式: 设事件 相互独立,则 也相互独立 即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于 1减去各自对立事件概率的乘积. 结论的应用 则“ 至少有一个发生”的概率为 P(A1?…?An) =1- (1-p1 ) …(1-pn ) 若设n个独立事件 发生的概率 分别为 类似可以得出： 至少有一个不发生”的概率为 “ =1- p1 … pn 对独立事件，许多概率计算可得到简化： 例13 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？ 解：将三人编号为1，2，3， 所求为 P(A1+A2+A3) 记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3 记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3 1 2 所求为 P(A1+A2+A3) 已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 P(A1+A2+A3) =1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)] 3 则“ 至少有一个发生”的概率为 P(A1+…+An) =1- (1-p1 ) …(1-pn ) 若设n个独立事件 发生的概率 分别为 类似可以得出： 至少