第18章静定结构的位移计算选读.ppt

18.7.2 位移互等定理 由功的互等定理可得 位移互等定理:在第一状态的单位力的作用点沿其方向上由于第二状态的单位力的作用所引起的位移等于第二状态的单位力的作用点沿其方向上由于第一状态的单位力的作用所引起的位移。 a) 由单位力 引起的位移 b)由单位力 引起的位移 因为 所以有 单位力 、 都可以是广义力，而 和 则是相应的广义位移。 如图所示的两个角位移 、 相等，即 。 位移互等定理 a) 引起的位移 b) 引起的位移 如图所示的线位移 与 角位移相等，即 位移互等定理 b) 引起的位移 a) 引起的位移 18.7.3 反力互等定理 支座2由于支座1的单位位移所引起的反力 ，等于支座1由于支座2的单位位移所引起的反力 。这就是反力互等定理。 a) 支座1发生单位位移 的状态 b)支座2发生单位位移 的状态 由功的互等定理 因为 所以有 图示为连续梁的两个支座分别发生单位位移的两种状态。 反力互等定理适用于结构上任何两个支座上的反力。 反力互等定理例证 a) 支座2发生单位位移 的状态 b)支座1发生单位位移 的状态 由反力互等定理可知：反力矩 和反力 在数值上相等。 即 18.7.4 反力与位移互等定理 反力与位移互等定理：由于单位荷载的作用，在结构某一支座处所引起的反力等于由于该支座发生与反力方向相一致的单位位移时，引起的单位荷载作用点的位移，但正负号相反。 反力与位移互等定理例证 由功的互等定理可得 得 小结 结构的位移及位移计算目的：线位移和角位移；验算结构刚度及为 支座移动时位移计算公式 位移计算一般公式： 虚功原理： 实际应用两种方式：虚荷载法和虚位移法。 荷载作用下的位移计算公式： 互等定理：功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理、反力 与位移互等定理。 超静定结构内力及反力的计算作准备。 * * * 二、图乘法证明 结论：在满足前述条件下，积分式 之值等于某一图形 面积?乘以该面积形心所对应的另一直线图形的纵y0,再除以EI。 y x o y yo dx d? MP(x) MK(X) ? x xo B A 18.5.2 图乘法的应用 1.分段 （1）按EI的改变点进行分段：以保证图乘段落中的EI是常数， 计算公式为 （2）按求纵坐标的图形的转折点进行分段：以保证取纵坐标的图形， 在图乘段落中必须是一条直线图形，计算公式为 （3）按求面积的图形分段：以保证求面积的图形，面积容易求、 形心 位置容易找。 2. 图形的处理 当图乘段落分好后，可根据叠加原理将复杂的MP图或M图分解成几个易于确定其面积及形心位置的简单图形，分别与另一图形相乘，然后再叠加所得结果。 以下给出在不同情况下应用图乘法时面积A与纵坐标yC的选取方法。 1) MP 、M图均为梯形时，可不求梯形的形心，而将一个梯形分为两 个三角形(或者分为一个矩行和一个三角形），分别对其应用图乘法。 计算公式为 M 图 P M 图 两图均为梯形 a) 分两个三角形 b) 分一个矩形和一个三角形 其中 、 图均为反梯形时，即一部分在杆的一侧，即一部分在杆的另 一侧时，可将 图看作两个三角形，一个三角形ACB在上边，高度为a；一个三角形ABD在下边，高度为b, 分别对其应用图乘法，即 两图均为反梯形 M 图 P M 图 4) 图乘时常遇 是非标准的二次抛物线图形。图示为一直杆段在均布 荷载作用时可能出现的几种弯矩图。这些非标准的二次抛物线图形均 可看成由两个弯矩图叠加而成，一个是作用在杆两端的弯矩所引起的 直线图形，另一个是由均布荷载引起的标准抛物线图形。因此，图乘 时可将它们分成为上述二个图形后再分别相乘。 为非标准抛物线的几种情况 例如 为梯形ABCD的面积， 为标准二次抛物线图形的面积。因为面积 与相应竖标 在杆的不同侧，因此计算公式中该项乘积应取负值。 A B C D a) b) C D c) 对图a、d所示的 、 图，可根据叠加原理将 图分为图b、c两图形，并分别将其与 图进行图乘，然后取其代数和即为所求结果，则有 d) A B C D 标准抛物线的面积和形心 a) ～c) 二次标准抛物线 d) 三