第一章线性空间与线性变换选读.ppt

（2）由于 由于 从而 这说明 因此 由于 将 的基扩张为 的基 从而 这样 所以 在 的这组基下的矩阵为 例27 对于Sylvester方程 如果矩阵 有公共特征值 ，那么变换 是不可逆的。 定义Sylvester变换 则 证明：设 分别为矩阵 的右、左特征对 ，即有 如果有 ，则 ，即 所以 ，因此变换 不可逆。 因此 没有公共特征值也是Sylvester矩阵方程有唯一解的充要条件。 此例说明，变换 可逆的必要条件是矩阵 没有公共特征值。以后可以证明，这个条件也是充分的。 六、线性变换的不变子空间（Invariant subspace） 定义28 设 是数域 上的线性空间 上的线性变换 ， 是 的子空间。如果对任意向量 都有 ，则称 是 的不变子空间。并且称线性变换 为 在 上的限制（restriction)，即 例29 线性空间 和零子空间 都是 上的线性变换 的（平凡）不变子空间。 例30 线性空间 上的线性变换 的像 和核 都是 的不变子空间。 例 31 线性空间 上的线性变换 的对应于某个特征值 的所有特征向量加上零向量 组成的集合 也是 的子空间，称为 的特征子空间(eigenspace) 。进一步， 也是 的不变子空间。 定理32 线性变换 的不变子空间的交与和仍然是 的不变子空间。 定理33 线性空间 上的线性变换 有非平凡的不变子空间的充要条件是 在 的一组基下的矩阵表示为块上三角矩阵，即形如 有不变子空间的线性变换，其矩阵表示是否有什么特殊形式呢？ 证明：必要性。设 在 的一组基 下的矩阵 为块上三角矩阵 其中 。由 知，对 ，有 令 ，则 是 的一个 维子空间。并且 。 因此对 中的任意向量 有 根据定义，并注意到 ，所以 是 的非平凡不变子空间。 证明：充分性。 设 是 的一个 维子空间，并且 ，则 。将 中的一组基 扩充成 的一组基 因为 ，则 因此 其中 从而充分性得证。 定理34 线性空间 上的线性变换 在 的一组基下的矩阵表示为块对角矩阵 的充要条件是 可以分解为 的不变子空间的直和 这里 为限制 在相应基下的矩阵表示。 推论 维线性空间 上的线性变换 在 的某个基下的矩阵表示为对角矩阵 的充要条件是 可以分解为 的 个一维特征子空间的直和 这里 为 的两两不同的特征值。 例 35 求 中矩阵 所对应的线性变换 的所有非平凡不变子空间，其中 解： 的三个特征值为 对应的全部特征向量为 对应的全部特征向量为 不全为零。 因此 的所有不变子空间为 和 ，这里 四、线性变换的矩阵表示 的基 映射为 。 维线性空间 上的线性变换 将 由于 仍然是基