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第四章 一阶逻辑基本概念 主要内容 一阶逻辑命题符号化 个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑公式及其解释 一阶语言 合式公式 合式公式的解释 永真式、矛盾式、可满足式 4.1 一阶逻辑命题符号化 个体词——所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体 个体常项：具体的事务，用a, b, c表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域(论域)——个体变项的取值范围 有限个体域，如 {a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如 N, Z, R, … 全总个体域——由宇宙间一切事物组成 谓词 谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n（n?1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n?2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：x?y，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项 量词 量词——表示数量的词 全称量词?: 表示所有的. ?x : 对个体域中所有的x 如, ?xF(x)表示个体域中所有的x具有性质F ?x?yG(x,y)表示个体域中所有的x和y有关系G 存在量词?: 表示存在, 有一个. ?x : 个体域中有一个x 如, ?xF(x)表示个体域中有一个x具有性质F ?x?yG(x,y)表示个体域中存在x和y有关系G ?x?yG(x,y)表示对个体域中每一个x都存在一个y使得 x和y有关系G ?x?yG(x,y)表示个体域中存在一个x使得对每一个y, x和y有关系G 实例1 实例1解答 实例2 例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域 实例3 例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 实例4 例4 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 没有不呼吸的人 (2) 不是所有的人都喜欢吃糖 实例5 例5 设个体域为实数域, 将下面命题符号化 (1) 对每一个数x都存在一个数y使得xy (2) 存在一个数x使得对每一个数y都有xy 4.2 一阶逻辑公式及解释 定义4.1 设L是一个非逻辑符集合, 由L生成的一阶语言L 的 字母表包括下述符号： 非逻辑符号 (1) 个体常项符号：a, b, c, …, ai, bi, ci, …, i ?1 (2) 函数符号：f, g, h, …, fi, gi, hi, …, i ?1 (3) 谓词符号：F, G, H, …, Fi, Gi, Hi, …, i ?1 逻辑符号 (4) 个体变项符号：x, y, z, …, xi, yi, zi, …, i ?1 (5) 量词符号：?, ? (6) 联结词符号：?, ?, ?, ?, ? (7) 括号与逗号：(, ), ， 一阶语言L 的项与原子公式 定义4.2 L 的项的定义如下： (1) 个体常项和个体变项是项. (2) 若?(x1, x2, …, xn)是任意的n元函数，t1, t2, …, tn是任意的 n个项，则?(t1, t2, …, tn) 是项. (3) 所有的项都是有限次使用(1),(2)得到的 如, a, x, x+y, f(x), g(x,y)等都是项 一阶语言L 的公式 定义4.4 L 的合式公式定义如下： (1) 原子公式是合式公式. (2) 若A是合式公式，则 (?A)也是合式公式 (3) 若A, B是合式公式，则(A?B), (A?B), (A?B), (A?B)也是 合式公式 (4) 若A是合式公式，则?xA, ?xA也是合式公式 (5) 只有有限次地应用(1)—(4)形成的符号串才是合式