第1章概率论基础选读.ppt

随机信号分析 * 1.5 特征函数 随机信号分析 * 1.5 特征函数 随机变量的特征函数和矩函数之间唯一确定。所以特征函数也称为矩生成函数。 随机信号分析 * 1.5 特征函数 证明： 随机信号分析 * 第一章 概率论基础 1.1 概率公理与随机变量 1.2 多维随机变量与条件随机变量 1.3 随机变量的函数 1.4 数字特征与条件数学期望 1.5 特征函数 1.6 典型分布（自学） 1.7 随机变量的仿真与实验（自学） 随机信号分析 * 第1章 作业 1.6、1.9、1.11 、1.14、1.16 、1.21 1.24、1.28 、1.29、1.30 、1.32 * * * * * * * * * * * 随机信号分析 * 1.4.4 条件数学期望 如果该函数的自变量为Y，则 是一个新的随机变量。对它求平均有: 称为全期望公式。 随机信号分析 * 1.4.4 条件数学期望 随机信号分析 * 1.4.4 条件数学期望 随机信号分析 * 1.4.4 条件数学期望 随机信号分析 * 1.4.4 条件数学期望 随机信号分析 * 1.4.4 条件数学期望 随机信号分析 * 1.4.4 条件数学期望 随机信号分析 * 1.4.4 条件数学期望 随机信号分析 * 1.4.5 重要不等式 随机信号分析 * 1.4.5 重要不等式 随机信号分析 * 第一章 概率论基础 1.1 概率公理与随机变量 1.2多维随机变量与条件随机变量 1.3 随机变量的函数 1.4 数字特征与条件数学期望 1.5 特征函数 1.6 典型分布 1.7 随机变量的仿真与实验 随机信号分析 * 1.5 特征函数 (Characteristic Function) 特征函数、矩发生函数和概率发生函数在分析随机变量和向量的各种问题中有着非常重要的意义，特别是在分析独立随机变量、向量和的概率与矩特性时，应用它们是十分方便的。在分析特征函数、矩发生函数和概率发生函数时，我们特别强调了变换分析技术。由此建立了傅立叶变换、Z变换等分析随机信号与系统的概率、矩特性的关系式，从而形成随机信号概率与矩特性的变换分析理论与技术。 随机信号分析 * 一、特征函数及概率密度函数的傅立叶变换 定义1.2 随机变量 ，其特征函数 定义为 式中，v为确定的实变量。 1.5 特征函数 随机信号分析 * 1.5 特征函数 若随机变量 的概率密度函数为 ，则其特征函数为: c.r.v. d.r.v. 随机信号分析 * 定理1.4 随机变量X的概率密度函数与其特征函数之间是一对傅立叶变换， 或 式中， 表示傅立叶变换对。 随机信号分析 * 随机变量概率密度函数与特征函数关系 傅立叶 变 换 将 ω换为 -v 将x 换为-x 傅立叶 反变换 随机信号分析 * 举例 例 : 随机变量 的特征函数为 ,求其概率密度函数 。 。 解法1： 随机信号分析 * 举例-续 解法2： q p 0 1 随机信号分析 * 例1.20 求二项分布Binomial 的特征函数。 解：首先令 ，其中 是独立同分布的，服从0－1分布，且 所以： 其中q=1-p。故 随机信号分析 * 例1.21 例 : 随机变量X为参数是λ的指数分布Exponential， 求其特征函数。 解： 随机信号分析 * 举例 例 : 若r.v. X1, X2互相独立,并且有X1 ~ N(0,1), X2 ~ N(0,1), 求随机变量Y= X1+X2的概率密度函数 f(x)。 解： 方法一：用二维变换法求解 方法二：特征函数法 随机信号分析 * 举例4.3续 随机信号分析 * 特征函数的基本性质 性质1: 独立随机变量和的特征函数 若 是彼此独立的随机变量，其概率密度函数记为 ，特征函数记为 ，随机变量之和 的概率密度函数记为 ，特征函数记为 ，则有关系式 而且