第1章有限元基本理论选读.ppt

工程分析应用软件(ANSYS) 四川大学水利水电学院 费文平 主要内容 第1章 有限元基本理论 第2章 ANSYS功能简介 第3章 ANSYS基本过程 第4章 ANSYS入门与准备 第5章 模型输入及修复 第6章 坐标系 第7章 选择、组件与部件 第8章 实体建模技术 第9章 布尔操作 第10章 单元属性 第11章 网格划分 第12章 加载求解技术 第13章 后处理技术 第14章 结构非线性分析 第15章 模态分析与谱分析 第16章 耦合和约束方程 第17章 APDL基础 第18章 子模型 第19章 热分析 第20章 热-应力耦合分析 第一章 有限元基本理论 1.1 有限元分析 (FEA) 1.2 有限单元法的基本思想 将连续的结构离散成有限个单元，并在每一单元中设定有限个节点，将连续体看作只在节点处相连接的一组单元的集合体。 选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一单元中假设一近似插值函数，以表示单元中场函数的分布规律。 利用力学中的某种变分原理去建立用以求节点未知量的有限单元法方程，将一个连续域中有限自由度问题化为离散域中有限自由度问题。 1.3 物理系统举例 1.3.1 平衡方程 1.3.2 几何方程 1.3.3 物理方程(本构方程) 1.3.4 边界条件 1.4 有限元模型 1.5 自由度(DOFs) 1.6 节点和单元 1.6 节点和单元 (续) 1.6 节点和单元 (续) 1.7 单元形函数 1.7 单元形函数(续) 1.7 单元形函数(续) DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。 这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的（如：结构应力、热梯度）。 1.7 单元形函数(续) 如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs，就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。 当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数。 在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析时有足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。 1.8 直杆受自重作用的拉伸问题 1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续) 就整个直杆来说，位移函数U(x)是未知的，但对每一单元可以近似地假设一位移函数，它在结点上等于结点位移。此处，假设单元中的位移按线性分布 ，即： 1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续) 有了位移插值函数，就可以按材料力学公式求出应变和应力用节点位移表示的公式： 1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续) 外载荷与结点的平衡方程 1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续) 假定将直杆分割成3个单元，每个单元长为a=L/3，则对结点2，3，4列出的平衡方程为： 1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续) 1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续) 联立求解线性代数方程组得： 1.9 有限单元法解题的一般步骤 结构的离散化 选择位移模式 建立平衡方程 求解节点位移 计算单元中的应力和应变 1.9.1 结构的离散化 用有限元法对结构进行应力分析时，首先要将结构进行离散化。即将一个连续体看成由有限个单元组成的体系，相邻的单元体仅在节点处相连接。 所有作用在单元上的载荷都按静力等效的原则移置到结点上，并在受几何约束的结点处设置相应的铰支座。 1.9.2 选择位移模式 在有限单元位移法中，假设结点上的位移是基本未知量。为了能用单元的结点位移表示单元中的应变和应力分量，必须假定一个位移模式(形函数)，也就是说根据单元的结点位移去构造单元上的位移插值函数。 即对单元假设一个位移差值函数(位移模式)，得到用节点位移表示单元体内任一点的唯一的关系式 1.9.2 选择位移模式(续) 有了位移模式，就可利用几何关系和应力-应变关系表出用单元节点位移表示单元中应变和应力的表达式 1.9.3 三角形单元的形函数 基本假定：假定单元内的位移可以用一个比较简单的函数来表示，如线性插值函数。这在单元划分比较密的情况下是合理可行的。 1.9.3 三角形单元的形函数(续) 将三角形单元的3个顶点的x方向位移代入位移函数可求出3个待定系数。 其中： 而： 是三角形ijm的面积。 于是可以得到： 令： 则： 1.9.3 三角形单元的形函数(续) 将三角形单元的3个顶点的2个方向位移代入位移函数可求出6个待定系数。即可用节点的位移表示内部任意一点的位移： 有了单元的位移模式，就可以借助平面问题的几何和物理方程，导出用单于的结点位移表示单元中的应变和应力分量的公式。 得到： 或简写为： 将应变代入物理方程： 可得： 即为用单元中的结点位移表示单元中应力的关系式。 式中[D]为弹性矩阵，对于平面应力问题，矩阵为： 1.9.5 单元的应