第2章_插值法选读.ppt

第2章 插值法 §2.1 引言 §2.2 拉格朗日插值 §2.3 均差与牛顿插值多项式 §2.4 埃尔米特插值 §2.5 分段低次插值 §2.6 三次样条插值 Lagrange插值多项式的缺点 解决 小结 两点三次Hermite插值的误差为 构造辅助函数 均是 二重根 连续使用4次Rolle定理，可得， 使得 即 所以,两点三次Hermite插值的余项为 以上分析都能成立吗？ 一般的，总认为次数越高， 逼近f(x)的精度就越好， 但实际上并非如此。 §2.5 分段低次插值 /* piecewise polynomial approximation */ Remember what I have said? Increasing the degree of interpolating polynomial will NOT guarantee a good result, since high-degree polynomials are oscillating. 例：在[?5, 5]上考察 的Ln(x)。取 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 - 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大， 端点附近抖动 越大，称为 Runge 现象 Ln(x) ? f (x) ? 分段低次插值 不同次数的Lagrange插值多项式的比较图 Runge现象 从上图可以看出，随着n的增加，Ln(x)的计算结果和误差的绝对值几乎成倍的增加，这说明当n趋于无穷大时， Ln(x)在[-5，5]上不收敛； 拉格朗日插值函数小结 其中 余项： Lagrange插值多项式的缺点： 插值基函数计算复杂 高次插值的精度不一定高 我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为 理论分析中很方便，但是当插值节点增减时全部插值基函数就要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的； Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数 li(x) 都需重新算过。 由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成 共n+1个多项式的线性组合 那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？ 显然，多项式组 线性无关， 因此，可以作为插值基函数 基函数 有 再继续下去待定系数的形式将更复杂 。。。。。。 为此引入差商和差分的概念 差商(亦称均差)/* divided difference */ 1阶差商 /* the 1st divided difference of f w.r.t. xi and xj */ 2阶差商 定义2. 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 ] , , ... , [ ] , , ... , [ ] , , ... , [ ] , ... , , [ ] , ... , [ + + - - + + + - - = - - = k k k k k k k k k k k x x x x x f x x x f x x x x x f x x x f x x f (k+1) 阶 差 商 差商的计算方法(表格法): 规定函数值为零阶差商 差商表 例 列出f(x)=x3在节点x=0,2,3,5,6上的各阶差商值。 三阶差商 四阶差商 解：列表计算 差商具有如下性质: Warning: my head is exploding… What is the point of this formula? 差商的值与 xi 的顺序无关！ Newton插值公式及其余项 1 2 … … … … n+1 1 + (x ? x0) ? 2 + … … + (x ? x0)…(x ? xn?1) ? n+1 Nn(x) Rn(x) ai = f [ x0, …, xi ] Newton插值公式及其余项 例： 已知x=1,4,9的平方根为1,2,3，利用牛顿基本差商 公式求 的近似值。 解： 从而得二阶牛顿基本差商公式为 因此计算得 的近似值为 性质3 上面我们讨论了节点任意分布的插值公式，但实际应用时经常会遇到等距节点的情形，这时插值公式可以进一步简化，计算也简单多了，为了给出等距节点的插值公式，我们先来看一个新概念； 向前 向后 中心 差分算子 不在函数表上，要用到函数表上的值 利用一阶差分可以定义二阶差分 差分 可以用归纳法证明 如 差分 差分表 差分与函数值之间的关系 归纳可知，k阶差商可表示为 在等距节点的前提下,差商与差