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数值分析 数值分析 例 用迭代法求 在隔根区间[1.4,1.5] 内的根,要求准确到小数点后第4位。 (1)牛顿迭代公式为 (2) 当 时有, 因 ,故取 ,牛顿迭代法收敛。 数值分析 数值分析 function y=newton(fname,dfname,x0,e,N) y=x0; x0=y+2*e; k=0; while abs(x0-y)ekN k=k+1; x0=y; y=x0-fname(x0)/dfname(x0); disp(y) end if k==N disp(warning) end f=inline(x^3-x^2-1); df=inline(3*x^2-2*x); y=newton(f,df,1.5,0.5*10^(-4),500) 数值分析 数值分析 (局部收敛性)设 f ?C2[a, b],若 x* 为 f (x) 在[a, b]上的根,且 f ’(x*) ? 0,则存在 x* 的邻域 使得任取初值 ,Newton’s Method产生的序列{ xk } 收敛到x*,且满足 定理5 证明:Newton’s Method 事实上是一种特殊的不动点迭代 其中 ,则 收敛 由 Taylor 展开: 数值分析 数值分析 只要 f ’(x*) ? 0,则令 可得结论。 注:在单根 附近收敛快,是平方收敛的. 由 Taylor 展开: 数值分析 数值分析 对于迭代过程 ,如果 在所求根 的邻近连续,并且 (*) 则该迭代过程在点 邻近是P阶收敛的。 因此对迭代误差有: 。这表明迭代过程 确实为P阶收敛,证毕。 定理6 证明:由于 。据上定理,立即可以断定迭代过程 具有局部收敛性。再将 在根 处展开,利用条件(*),则有 注意到 ,由上式得 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 1、优点:牛顿迭代法具有平方收敛的速度,所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确的解。这是牛顿迭代法比简单迭代法优越的地方。 牛顿迭代法的优缺点 2、缺点:选定的初值要接近方程的解,否则有可能得不到收敛的结果。再者,牛顿迭代法计算量比较大。因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值。 数值分析 数值分析 牛顿法主要有两个缺点:局部收敛,计算量大。 数值分析 数值分析 割线法的几何意义 用割线代替曲线,用 线性函数的零点作为 f(x)的零点的近似值。 收敛阶为 P=1.68 数值分析 数值分析 在科学研究的数学问题中更多的是非线性问题,它们又常常归结为非线性方程或非线性方程组的求解问题。 1 非线性方程求根的迭代法 2非线性方程的Newton型迭代法 3 Newton型迭代法的改进 第七章 非线性方程的数值方法 数值分析 数值分析 满足方程(1)的x值通常叫做方程的根或解, 也叫函数f(x)=0的零点。 非线性方程的一般形式 f(x)=0 (1) 这里f(x)是单变量x 的函数,它可以是代数多项式 f(x)=a0+a1x+……+anxn (an≠0) 也可以是超越函数,即不能表示为上述形式的函数。 1. 非线性方程求根的迭代法 数值分析 数值分析 在用近似方法时,需要知道方程的根所在区间。若区间?a,b?含有方程f(x)=0的根,则称?a,b?为f(x)=0的有根区间;若区间?a,b?仅含方程f(x)= 0的一个根,则称?a,b?为f(x)= 0的一个隔根区间。求隔根区间有两种方法: 一、非线性方程求根的基本问题包括:根的存在性、
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