第2章系统的数学模型01选读.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 或 使方程两边实部和虚部分别相等，得 或 由此得： 为了确定A，用s乘以方程两边，并令s=0，得 所以 则F(s)的拉普拉斯反变换为 由此例题可以看出：如果存在共轭极点的话，则反变换式中一定包括三角函数与指数函数的复合函数。 3.包含多重极点的情况 设F(s)=B(s)/A(s)，在A(s)=0处有r个-p1重根 （假设其余的根是不同的）。A(s)就可以写成： F(s)的部分分式展开式为 (2-53) 式中Ar 、 Ar-1 、 …… 、 A1分别按下式求得 …… …… （2-54） 的拉氏反变换是由下式 （表2-1，9） （2-55） 给出的。而对应于实数极点的留数Br+1 、Br+2 、… 、 Bn仍由前面推导出的公式算，即 下面得到的就是F(s)的拉普拉斯反变换： 例2-15求 的拉氏反变换． 解： 因而上式拉氏反变换为 将A1、A2、B1、B2 代入前面方程得 四、用拉氏变换解常系数线性微分方程 将微分方程通过拉氏变换变为s 的代数方程； 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式； 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。 四、用拉氏变换解常系数线性微分方程 例2-16 解方程 ，其中， 解：将方程两边取拉氏变换，得 将 代入，并整理，得 所以 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 例2-8求正弦函数f(t)=sin?t的拉氏变换。 解：利用（2-30）式，可得 由欧拉公式 所以 序号 f(t) F(s) 1 ?(t) 1 2 1(t) 3 t 4 5 6 sin?t 表2-1常用函数的拉氏变换表 序号 f(t) F(s) 7 cos(?t) 8 9 10 11 12 序号 f(t) F(s) 13 14 15 16 序号 f(t) F(s) 17 18 二、拉氏变换的主要定理 1．线性定理 设L[f1(t)]=F1(s)，L[f2(t)]=F2(s)，k1，k2为常数 ，则 （2-32） 线性定理说明某一时间内，函数为几个时间函数的代数和，其拉氏变换等于每个时间函数拉氏变换代数和。 2．微分定理 设L[f(t)]=F(s)，则有 (2-33) 式中f(0+)表示当t在时间坐标轴的右端趋于零时的f(t)值，相当于初始条件 证明：由（2-30）式可得： 利用分部积分法， 　则 令 　, 则 故 同理，可进一步推出f(t)的各阶导数的拉氏变换为: （2-34） 式中f(0+)、 f (1)(0+) 、···、 f (n-2)(0+) 、 f (n-1)(0+)分别为f(t)各阶导数在t时间坐标轴的右端趋于零时的 值，如果所有这些初值为零，则 （2-35） 例２-7 试求下面微分方程式的拉氏变换式．已知各阶导数初值为零。 解：利用线性定理和微分定理，可得 3. 积分定理 （ 2-36） 式中 为 　在t时间坐标轴的右端趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。 证明： 由（2-30）式可得 设L[f(t)]=F(s)，则有 利用分部积分法，令 则有 故 同理，对于多重积分的拉氏变换可得: 式中 f (-1)(0+) 、 f (-2)(0+) ···、 f (-n)(0+) 为式中f(t)的各重积分在t=0+时的值，如果这些初值为零，则有 （2-38） （2-37） ４．初值定理 设f(t)及其一阶导数均为可拉氏变换的，则f(t)的初值为 （2-39） 证明： 由微分定理得知 由于s→∞时，e-st→0所以 所以 即 例2-10求 的初值。 解：可以由 　 直接求出初值，亦可按初值定理求出。 直接法可得 初值定理，