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* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 线性系统的示意图 线性系统 输入 输出 x(t) y(t) X(f) Y(f) h(t) H(f) 图2.10.1 线性系统示意图 t ?(t) h(t) t 0 0 线性系统的基本概念 * * 时域分析法 设h(t) - 系统的冲激响应 x(t) - 输入信号波形 y(t) -输出信号波形 则有: 对于物理可实现系统: 确知信号通过线性系统 * * 频域分析法 设:输入为能量信号,令 x( t ) -输入能量信号 H( f ) - h( t )的傅里叶变换 X( f ) - x( t )的傅里叶变换 y( t ) - 输出信号 则此系统的输出信号y( t )的频谱密度Y( f )为: 由Y( f )的逆傅里叶变换可以求出y( t ): 确知信号通过线性系统 * * 设:输入x( t )为周期性功率信号,则有 式中, 输出为: 设:输入x( t )为非周期性功率信号,则当作随机信号处理 ?0 = 2?/T0 T0 - 信号的周期 f0 = ?0 / 2?是信号的基频 确知信号通过线性系统 * * 【例2.10】若有一个RC低通滤波器,如图2.10.4所示。试求出其冲激响应,以及当有按指数衰减的输入时其输出信号表示式。 解:设 x(t) -输入能量信号 y(t) - 输出能量信号 X(f) - x(t)的频谱密度 Y(f) - y(t)的频谱密度 则此电路的传输函数为: 此滤波器的冲激响应h(t): 图2.10.4 RC滤波器 R C x(t) y(t) 确知信号通过线性系统 * * 滤波器输出和输入之间的关系: 假设输入x(t)等于: 则此滤波器的输出为: 确知信号通过线性系统 * * 无失真传输条件 设:系统是无失真的线性传输系统,输入为一能量信号x(t) , 则其无失真输出信号y(t)为: 式中,k - 衰减常数, td - 延迟时间。 求系统的传输函数: 对上式作傅里叶变换: ∴ 式中, 振幅特性与频率无关; 相位特性是通过原点的直线。 (实际中,?难测量,常用测量td代替。) |H(f)| k 0 f ? f 0 确知信号通过线性系统 * * 物理可实现线性系统,若输入为确知信号,则有 若输入为平稳随机信号X(t),则输出Y(t)为 随机信号通过线性系统 * * 输出Y(t)的数学期望E[Y(t)] 由于已假设输入是平稳随机过程,故 ∵ ∴输出的数学期望: E[X(t-?)] = E[X(t)] = k,k = 常数。 随机信号通过线性系统 * * 输出Y(t)的自相关函数 由自相关函数定义,有 由X(t)的平稳性知,上式中的数学期望与t1无关,故有 ∴ 由于Y(t)的数学期望和自相关函数都和t1无关,故Y(t)是 广义平稳随机过程。 随机信号通过线性系统 * * 输出Y(t)的功率谱密度PY( f ) : 由于功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换,故有 令?? = ? +u - v代入上式,得到 ∴输出信号的功率谱密度等于输入信号的功率谱密度 乘以 |H( f )|2。 随机信号通过线性系统 * * 【例2.11】已知一个白噪声的双边功率谱密度为n0/2。试 求它通过一个理想低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数 和噪声功率。 解:因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成: 所以有 输出信号的功率谱密度为 输出信号的自相关函数 输出噪声功率: PY = RY(0) = k2 n0 fH 随机信号通过线性系统 * * 作业 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 定义: 式中, 方差的改写: 证: 对于离散随机变量, 对
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