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第七章 非线性控制系统 7-1 引言 一 常见非线性特性对系统运动的影响 二.非线性系统特征 三.非线性系统的分析方法 7-2相平面法基础 一. 相平面法的概念 二.相轨迹的绘制方法 例7-1 例8-2 三.由相平面图求时间解 7.3 二阶系统的相平面分析法 一.线性系统的相轨迹 二.奇点与平衡点 例7-3 三.极限环 四.非线性系统的相轨迹 1:具有饱和特性的非线性控制系统 2:继电型非线性控制系统 五.速度反馈对系统自由运动的影响 六.继电系统的滑动现象 7-4 描述函数 一.描述函数的一般概念 二.典型非线性特性的描述函数 7-5 用描述函数分析非线性系统 一.系统的典型结构及基本条件 二.非线性系统的稳定性分析 例8-4 三.非线性系统的自持振荡分析 例8-5 四.非线性系统结构图的简化 于是可得死区特性的描述函数为: 死区特性的描述函数是输入信号幅值实函数,与输入正弦信号的频率无关。当Δ/X很小时,N(X)≈K,即输入幅值很大或死区很小时,死区的影响可以忽略。 2:饱和特性的描述函数 饱和特性在正弦信号x(t)=Xsinωt作用下输出y(t)的数学表达式为: 式中S为线性范围,K为线性部分的斜率。由于饱和特性是单值奇对称的,所以A1=0,ψ1=0。B1可按下式计算: π 2π 2π π 图7-47 于是可得饱和特性的描述函数为: 由上式可见,饱和特性的描述函数是输入信号幅值的实函数,与输入频率无关。 3:间隙特性的描述函数 间隙特性在正弦信号x(t)=Xsinωt作用输出y(t)的数学表达式为: 2π 2π K 图7-48 由于间隙特性为多值函数,所以A1、B1都需要计算: 于是可得间隙特性的描述函数为: 由上式可见,间隙特性的描述函数是输入信号幅值的复函数,与输入频率无关。 4:继电特性的描述函数 继电特性在正弦信号x(t)=Xsinωt作用下输出y(t)的数学表达式为: 由于继电特性为多值函数,所以A1、B1都需要计算: 2π 图7-49 于是可得继电特性的描述函数为: 由上式可见,继电特性的描述函数是输入信号幅值的复函数,与输入频率无关。 令m=1,就可得到三位置理想继电特性的描述函数: 令m=-1,就可得到具有滞环的两位置继电特性的描述函数: 下表列出了一些常见非线性特性的描述函数,以供查用。 令h=0,就可得到两位置理想继电特性的描述函数: 5:组合非线性特性的描述函数 当非线性系统中含有两个以上非线性环节时,一般不能简单地按照线性环节的串并联方法求总的描述函数,而应按照以下方法进行计算。 (1):非线性特性的并联计算 设系统中有两个非线性环节并联,其描述函数分别为N1(X)和N2(X) 。显然非线性环节并联后总输出为两个非线性环节的输出之和,即: N1(X) N2(X) 图7-50 (2):非线性特性的串联计算 当两个非线性环节串联时,其总的描述函数不等于两个非线性环节描述函数的乘积,而是需要通过折算,先求出这两个非线性环节的等效非线性特性,然后根据等效的非线性特性求总的描述函数。一般说来,两个非线性环节串联的前后次序不同,其等效的非线性特性不同,总的描述函数也不一样,这是与线性环节串联的区别。 若将y(t)展开成傅里叶级数,则y(t)的一次谐波分量应为y1(t) 和y2(t) 的一次谐波分量之和,按照描述函数的定义,总的描述函数应为: 设非线性系统经过等效变换,可表示为线性部分G与非线性部分N相串联的典型结构,如图所示。 对非线性系统进行分析,首先考虑和关心的是稳定性和自持振荡。 N G 图7-51 而描述函数法对系统的稳定性、产生自持振荡的条件、自持振荡振幅和频率的确定以及抑制自持振荡等问题,都能够给出比较符合实际的解答。 若令 可得奇点或平衡点为 该奇点为稳定焦点,奇点的位置与输入信号的大小有关。当V0Ke0时,因奇点位于线性区|e|≤e0的范围内,该奇点为实奇点;当V0Ke0时,奇点位于线性区|e|≤e0的范围之外,相轨迹无法趋向或离开该奇点,这样的奇点称为虚奇点。 在ee0和e-e0的饱和区,相平面中不存在奇点。 在ee0的区域,相轨迹均渐近于 在e-e0的区域,相轨迹均渐近于 A B (0.3,0) 虚奇点 实奇点(0.1,0) (0.2,0) A B A B 图7-25 实奇点 从图中看出,当V0=1.2KM0时,相轨迹最终趋于 水平直线,说明系统的稳态误差e(∞)将趋于无穷大,系统无法跟踪快速变化的斜坡信号。这是因为饱和非线性限制了系统的跟踪速度,当相点通过C点时,控制器处于正向饱和状态,控制器的输出为饱和值,使系统输出的速度受
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