第3章3.1空间向量与立体几何选读.ppt

互动探究　将本例中条件“若向量ka＋b与ka－2b互相垂直”改为“若向量ka＋b与a＋kb互相平行”，其他条件不变，求k的值． 解：a＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)， b＝(－3＋2,0－0，4－2)＝(－1,0,2)， ∴ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)， a＋kb＝(1,1,0)＋(－k,0,2k)＝(1－k,1,2k)， 利用向量的坐标表示求夹角和距离 利用空间直角坐标系解立体几何中的题，需首先建立空间直角坐标系，选取图中有公共起点且互相垂直的三条线段所在直线为坐标轴；再利用公式解决夹角、模等问题． 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点． (1)求证：EF⊥CF； (2)求CE的长． 例3 【名师点评】　在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求，利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单． 方法感悟 1．空间向量在几何中的应用 有了向量的坐标表示，利用向量的平行、垂直判定几何中线线、线面的平行与垂直；利用向量长度公式、夹角公式求两点间的距离和两异面直线所成的角，只需通过简单运算即可．在此处，要认真体会向量的工具性作用． 2．关于空间直角坐标系的建立 建系时，要根据图形特点，充分利用图形中的垂直关系确定原点和各坐标轴．同时，使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．这样可以较方便的写出点的坐标． ?3．1.4　空间向量的正交分解及其坐标表示 课前自主学案 温故夯基 1．平面向量基本定理的内容是：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且仅有一对实数λ1,λ2,使 ________________成立，不共线的向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组______． 2．在平面内，把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量__________． 不共线 基底 正交分解 a＝λ1e1＋λ2e2 知新益能 1．空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c________，那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x，y，z},使得p＝__________,其中{a，b，c}叫做空间的一个______，a，b，c都叫做________． 不共面 基底 基向量 xa＋yb＋zc 2．空间向量的正交分解及其坐标表示 单位正交基底 三个有公共起点O的__________的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底． 空间直角坐标系 以e1，e2，e3的___________为原点，分别以__________的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz. 两两垂直 公共起点O e1，e2，e3 平移 起点 x，y，z p＝(x，y，z) xe1＋ye2＋ze3 1．空间的基底是惟一的吗？ 提示：由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都可以组成空间的一个基底，所以空间的基底有无数个，因此不惟一． 2．空间向量基本定理中，当z＝0时，是什么定理？ 当y＝z＝0时，是什么定理？ 提示：平面向量基本定理；共线定理． 问题探究 课堂互动讲练 基底的判断 考点突破 判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断． 例1 若{a，b，c}是空间一个基底，试判断{a＋b,b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底． 【思路点拨】　假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立． 互动探究　若本例条件不变，试判断向量a＋b，a－b，c能否作为空间的一个基底． 解：假设a＋b，a－b，c共面， 则存在实数x，y，使c＝x(a＋b)＋y(a－b)， 即c＝(x＋y)a＋(x－y)b， 从而由共面向量知c与a，b共面， 这与a，b，c不共面矛盾． ∴a＋b，a－b，c不共面， 即可以作为空间的一个基底． 空间向量的坐标表示 用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为： (1)观察图形：充分观察图形特征； (2)建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系； (3)进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算； (4)确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来． 例2 用基底表示向量 用基底表示向量时， (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行． (2)若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求． 【思路点