电磁场与电磁波第一章.ppt

1.4.4 散度定理（矢量场的高斯定理） 该公式表明了矢量场 的散度在体积V内的积分等于矢量场穿过包围该体积的边界面S的通量。 散度运算相关公式 例: 原点处点电荷q产生的电位移为 求: 和电位移矢量通过以原心为球心,r为半径的球面的通量 例:计算矢量r 对一个球心在原点、半径为a的球表面积分，并求▽.r对球体积的积分。 解：在球坐标系中，矢量r的表达式 对球心在原点的球表面的面积分 所以▽.r对球体积的积分为： 1.5 矢量场的环流 旋度 磁感应线要 么穿过曲面 磁感应线要么同时 穿入和穿出曲面 磁感应线 磁场的环流： 1.5.1 矢量的环流 在场矢量 空间中，取一有向闭合路径 ，则称 沿 积分的结果称为矢量 沿 的环流。即： 线元矢量 ：长度趋近于0，方向沿路径切线方向。 环流意义：若矢量场环流不为零，则矢量场中存在产生矢量场的漩涡源。 反映矢量场漩涡源分布情况 讨论： 环量的定义 1.5.2 矢量的旋度 环流面密度 称为矢量场 在M点处沿 方向的漩涡源密度。 定义：空间某点M处单位面元边界闭合曲线的环流： 1)环流面密度大小与所选取的单位面元方向 有关。 2) 任意取向面元的环流面密度与最大环流面密度的关系： 矢量场的旋度 矢量场在M点的旋度为该点处环流面密度最大时对应的矢量，模值等于M点处最大环流面密度，方向为环流密度最大的方向，表示为 ，即： 式中： 表示矢量场旋度的方向； 旋度的物理意义 矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数 矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度 旋度的计算 直角坐标系： 柱面坐标系： 球面坐标系： 矢量场的旋度 的散度恒为零 标量场的梯度 的旋度恒为零 旋度计算相关公式： 证明 证明 讨论：散度和旋度比较 1.5.3 斯托克斯定理 由旋度的定义 对于有限大面积s，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有 斯托克斯定理的证明： ＝ 得证！ 意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的环流。 曲面的剖分 方向相反大小相等抵消 若矢量场 在某区域V内，处处 ，但在某些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域V内，场 为无旋场。 1.6 无旋场与无散场 1.6.1 无旋场 结论：无旋场场矢量沿任何闭合路径的环流等于零(无漩涡源)。 重要性质： 无旋场的旋度始终为0，可引入标量辅助函数表征矢量场，即 例如：静电场 1.6.2 无散场 若矢量场 在某区域V内，处处 ，但在某些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域V内，场 为无源有旋场。 结论：无散场通过任意闭合曲面的通量等于零（无散度源）。 重要性质： 无散场的散度始终为0，可引入矢量函数的旋度表示无散场 例如，恒定磁场 （3）无旋、无散场 （源在所讨论的区域之外） （4）有散、有旋场 这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分 无旋场部分 无散场部分 1.7 拉普拉斯运算 标量场的拉普拉斯运算 对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作： 式中： 称为拉普拉斯算符。 在直角坐标系中： 在圆柱坐标系中： 在球面坐标系中：(1.7.3) 矢量场的拉普拉斯运算 在直角坐标系中： 1.8 亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理 在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定，且任意矢量场可表示为： 说明： 矢量场可分解一个有源无旋场和无源有旋场之和，即： 已知 矢量F的通量源密度 矢量F的旋度源密度 场域边界条件 在电磁场中 电、磁场散度 电、磁场旋度 场域边界条件 亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线。 若矢量场 在某区域V内，处处有： 和 则 由其在边界面上的场分布确定。 注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。 散度定理的证明： 从散度定义，可以得到： 则在一定体积V内的总的通量为： 体积的剖分 V S1 S2 en2 en1 S 重要的矢量恒等式的证明： 返回 重要的矢量恒等式的证明： 返回 习 题一、关于矢量代数1.3; 1.5; 1.9二、关于矢量分析 1.12; 1.16; 1.20; 1.23;1.27 第1章 矢量分析 电磁场与电磁波 第一章 矢量分析 本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基础内容。 矢量代